Question

已知數(shù)列{a_n}，定義其倒均數(shù)是．
（1）若數(shù)列{a_n}倒均數(shù)是；
（2）若等比數(shù)列{b_n}的公比q=2，其倒均數(shù)為V_n，問(wèn)是否存在正整數(shù)m，使得當(dāng)n≥m（n∈N^*）時(shí)，nV_n＜恒成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵數(shù)列{a_n}倒均數(shù)是
∴=
∴=
當(dāng)n≥2時(shí)，=
兩式相減可得=
∴a_n=（n≥2）
∵n=1時(shí)，，∴a₁=也滿(mǎn)足上式
∴a_n=；
（2）∵等比數(shù)列{b_n}的公比q=2，∴{}是公比為的等比數(shù)列，
∴等比數(shù)列{b_n}的倒均數(shù)為
不等式nV_n＜，即＜
若b₁＜0，則不等式為，∴n＞4，因此此時(shí)存在正整數(shù)m，使得當(dāng)n≥m（n∈N^*）時(shí)，nV_n＜恒成立，且m的最小值為4；
若b₁＞0，則不等式為，∴n＜4，因此此時(shí)不存在正整數(shù)m，使得當(dāng)n≥m（n∈N^*）時(shí)，nV_n＜恒成立．
分析：（1）利用數(shù)列{a_n}倒均數(shù)是，可得=，再寫(xiě)一式，兩式相減可得數(shù)列的通項(xiàng)；
（2）求出等比數(shù)列{b_n}的倒均數(shù)為，不等式nV_n＜，即＜，再分類(lèi)討論，即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列中存在性問(wèn)題，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，正確理解新定義是關(guān)鍵．