Question

已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)f（x），存在實(shí)數(shù)x₀，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x₁，x₂，總有f（x₀x₁+x₀x₂）=f（x₀）+f（x₁）+f（x₂）恒成立．
（Ⅰ）求x₀的值；（Ⅱ）若f（x₀）=1，且對(duì)任意n∈N^*，有a_n=f（）+1，求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=2loa_n+1，將數(shù)列{b_n}的項(xiàng)重新組合成新數(shù)列{c_n}，具體法則如下：c₁=b₁，c₂=b₂+b₃，c₃=b₄+b₅+b₆，…，求證：+++…+＜．

Answer 1

解：（Ⅰ）令x₁=x₂=0，得f（x₀）=-f（0），①
令x₁=1，x₂=0，得f（x₀）=f（x₀）+f（1）+f（0），∴f（1）=-f（0）②
由①、②得f（x₀）=f（1），又因?yàn)閒（x）為單調(diào)函數(shù)，∴x₀=1…（2分）
（Ⅱ）由（1）得f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1，，∴，a₁=1
，…（3分）…（4分）∴，…（5分）
（Ⅲ）b_n=2loa_n+1=2n+1…（6分）
由{C_n}的構(gòu)成法則可知，C_n應(yīng)等于{b_n}中的n項(xiàng)之和，其第一項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為
[1+2+…+（n-1）]+1=+1，即這一項(xiàng)為2×[+1]-1=n（n-1）+1
C_n=n（n-1）+1+n（n-1）+3+…+n（n-1）+2n-1=n²（n-1）+=n³ …（8分）
1
當(dāng)n≥3時(shí)，…（10分）
∴：+++…+＜
…（12分）
分析：（Ⅰ）分別令x₁=x₂=0，x₁=1，x₂=0，f（x₀）=f（1），又因?yàn)閒（x）為單調(diào)函數(shù)，從而可求x₀的值；
（Ⅱ）由（1）得f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1，進(jìn)而可有，從而有，故可求；
（Ⅲ）先求得b_n=2n+1，由{C_n}的構(gòu)成法則求得C_n=n³ 借助于當(dāng)n≥3時(shí)，可進(jìn)行放縮，從而得證．
點(diǎn)評(píng)：本題考查來哦賦值法，同時(shí)考查放縮法證明不等式，有一定的綜合性．