Question

已知點(diǎn)是離心率為的橢圓C：上的一點(diǎn)．斜率為的直線BD交橢圓C于B、D兩點(diǎn)，且A、B、D三點(diǎn)不重合．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）△ABD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由？
（Ⅲ）求證：直線AB、AD的斜率之和為定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由，，能導(dǎo)出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線BD的方程為，，△=-8b²+64＞0，設(shè)d為點(diǎn)A到直線BD：的距離，由，故，由此知當(dāng)b=±2時(shí)，△ABD的面積最大，最大值為．
（Ⅲ）設(shè)D（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB、AD的斜率分別為：k_AB、k_AD，則k_AD+k_AB==，由此能導(dǎo)出即k_AD+k_AB=0．
解答：解：（Ⅰ）∵，，a²=b²+c²
∴a=2，，∴（5分）
（Ⅱ）設(shè)直線BD的方程為∴∴△=-8b²+64＞0，①②∵，
設(shè)d為點(diǎn)A到直線BD：的距離，∴∴，
當(dāng)且僅當(dāng)b=±2時(shí)取等號(hào)．
因?yàn)?plusmn;2，所以當(dāng)b=±2時(shí)，△ABD的面積最大，最大值為（10分）
（Ⅲ）設(shè)D（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線AB、AD的斜率分別為：k_AB、k_AD，
則k_AD+k_AB==*
將（Ⅱ）中①、②式代入*式整理得=0，
即k_AD+k_AB=0（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．