Question

給出下列命題：①若a，b∈R⁺，a≠b，則a³+b³＞a²b+ab²；②若a，b∈R⁺，a＜b，則；③若，則ln a＞ln b；
④；其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0個(gè)
B．1個(gè)
C．2個(gè)
D．3個(gè)

Answer 1

【答案】分析：對(duì)于三個(gè)命題分別判斷，正確的給出證明，錯(cuò)誤的能舉出反例，是解答這類題目的重要方法，另外記住一些結(jié)論對(duì)捷達(dá)選擇或者填空題很有幫助．本題要一一作出解答．
解答：解：①∵a，b∈R⁺，a≠b，∴a+b＞0，（a-b）²＞0，∴a³+b³-（a²b+ab²）=a²（a-b）+b²（b-a）=（a-b）（a²-b²）=（a-b）²（a+b）＞0，∴a³+b³＞a²b+ab²，此命題正確；
②∵a，b∈R⁺，a＜b，∴b-a＞0，∴=＞0，∴，命題 不正確；本題可以舉出反例如：設(shè)a=2，b=3，m=1，可驗(yàn)證命題不正確；
③反例設(shè)a=-1，b=-2，成立，但是ln a，ln b均無(wú)意義；更談不上ln a＞ln b了；
④設(shè)t=sinx∈（0，1），則≥=，當(dāng)且僅當(dāng)即，sinx=顯然不成立，此命題不正確．
綜上可知只有①正確．
故應(yīng)選：B
點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的概念和命題的真假判斷，結(jié)合不等式知識(shí)，綜合考查了綜合法，分析法，反證法，比較作差法等不等式的證明方法；另外對(duì)均值不等式的應(yīng)用題目設(shè)計(jì)很好地體現(xiàn)了學(xué)生容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤，很有針對(duì)性！