Question

（2013•宿遷一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

6

3

，一條準(zhǔn)線方程為x=

3 6

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)G，H為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OG⊥OH．
①當(dāng)直線OG的傾斜角為60°時(shí)，求△GOH的面積；
②是否存在以原點(diǎn)O為圓心的定圓，使得該定圓始終與直線GH相切？若存在，請(qǐng)求出該定圓方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用橢圓C的離心率e=

6

3

，一條準(zhǔn)線方程為x=

3 6

2

，建立方程組，求得幾何量，即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）①確定G，H的坐標(biāo)，求得OG，OH的長(zhǎng)，即可求△GOH的面積；
②假設(shè)存在滿足條件的定圓，設(shè)圓的半徑為R，則OG•OH=R•GH，因?yàn)镺G²+OH²=GH²，故

1

OG2

+

1

OH2

=

1

R2

，分類(lèi)討論可得結(jié)論．

解答：解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率e=

6

3

，一條準(zhǔn)線方程為x=

3 6

2

．
所以

c

a

=

6

3

，

a2

c

=

3 6

2

，a²=b²+c²，…（2分）
解得a=3，b=

3

，
所以橢圓方程為

x2

9

+

y2

3

=1． …（4分）
（2）①由

y= 3 x x2 9 + y2 3 =1

，解得

x2= 9 10 y2= 27 10

，…（6分）
由

y=- 3 3 x x2 9 + y2 3 =1

得

x2= 9 2 y2= 3 2

，…（8分）
所以OG=

3 10

5

，OH=

6

，所以

S

△GOH

=

3 15

5

．…（10分）
②假設(shè)存在滿足條件的定圓，設(shè)圓的半徑為R，則OG•OH=R•GH
因?yàn)镺G²+OH²=GH²，故

1

OG2

+

1

OH2

=

1

R2

，
當(dāng)OG與OH的斜率均存在時(shí)，不妨設(shè)直線OG方程為：y=kx，與橢圓方程聯(lián)立，可得xG2=

9

1+3k2

，yG2=

9k2

1+3k2

∴OG2=

9+9k2

1+3k2

同理可得OH2=

9+9k2

3+k2

∴

1

OG2

+

1

OH2

=

4

9

=

1

R2

，∴R=

3

2

當(dāng)OG與OH的斜率有一個(gè)不存在時(shí)，可得

1

OG2

+

1

OH2

=

4

9

=

1

R2

故滿足條件的定圓方程為x²+y²=

9

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是關(guān)鍵．