Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的平均數(shù)的倒數(shù)為

1

2n+1

．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=

n- 1 2

an

，試比較c_n+1與c_n（n∈N^*）的大小關(guān)系；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)f（x）=-x²+4x-

n- 1 2

an

，是否存在最大的實(shí)數(shù)λ，當(dāng)x≤λ時(shí)，對(duì)于一切正整數(shù)n，都有f（x）≤0成立？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=n（2n+1），再寫一式，兩式相減，即可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用作差法，即可得到c_n+1與c_n的大�。�
（Ⅲ）由（Ⅱ）知數(shù)列 {c_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，c₁是其最小項(xiàng)．假設(shè)存在最大實(shí)數(shù)，使當(dāng)x≤λ時(shí)，對(duì)于一切正整數(shù)n，都有f（x）≤0恒成立，只需-x²+4x≤c₁=

1

6

，即可求出最大的實(shí)數(shù)λ．

解答： 解：（Ⅰ）a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=n（2n+1），a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）（2n-1），
兩式相減，得a_n=4n-1（n≥2）．
又 a₁=3=4×1-1，
∴a_n=4n-1；
（Ⅱ）∵c_n=

n- 1 2

an

=

1

4

-

1

4(4n-1)

，c_n+1=

1

4

-

1

4(4n+3)

，
∴c_n+1-c_n=

1

4(4n-1)

-

1

4(4n+3)

＞0，即c_n+1＞c_n．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知數(shù)列 {c_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，c₁=

1

6

是其最小項(xiàng)，
假設(shè)存在最大實(shí)數(shù)，使當(dāng)x≤λ時(shí)，對(duì)于一切正整數(shù)n，都有f（x）=-x²+4x-

n- 1 2

an

≤0恒成立，
則只需-x²+4x≤c₁=

1

6

，即x²-4x+

1

6

≥0，解之得x≥2+

138

6

或x≤2-

138

6

．
于是，可取λ=2-

138

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查大小比較，考查解不等式，確定數(shù)列的通項(xiàng)與單調(diào)性是關(guān)鍵．