Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，與過點(diǎn)P（1，2）且斜率為-2的直線l相交所得的弦恰好被P評分，則此橢圓的離心率是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先設(shè)橢圓的方程，進(jìn)一步利用利用中點(diǎn)弦的公式求出橢圓的方程，最后求出離心率．

解答： 解：設(shè)橢圓的方程為：mx²+ny²=1，設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為：M（x₁，y₁），N（x₁，y₁），
則：mx12+ny12=1和mx22+ny22=1，
兩式相減得到：m（x₁+x₂）（x₁-x₂）+n（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
由于橢圓過點(diǎn)P（1，2）且斜率為-2的直線l相交所得的弦恰好被P平分，
則：2m=8n，
即m=4n，
所以橢圓的方程為：4nx²+ny²=1，
即

x2

1 4n

+

y2

1 n

=1，
即：a2=

1

n

，b2=

1

4n

；
利用a²=b²+c²，解得：c2=

3

4n

，
離心率：e2=

c2

a2

，
解得：e=

3

2

．
故答案為：

3

2

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：中點(diǎn)弦公式在橢圓方程中的應(yīng)用，利用橢圓方程求離心率．