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(2012•浙江模擬)已知拋物線x2=4y.
(Ⅰ)過拋物線焦點F,作直線交拋物線于M,N兩點,求|MN|最小值;
(Ⅱ)如圖,P是拋物線上的動點,過P作圓C:x2+(y+1)2=1的切線交直線y=-2于A,B兩點,當PB恰好切拋物線于點P時,求此時△PAB的面積.
分析:(Ⅰ)設PF的方程代入x2=4y,利用拋物線的定義,結合基本不等式,即可求得|MN|最小值;
(Ⅱ)求出拋物線在點P處切線方程,從而可求圓心C到該切線距離,由對稱性,不妨設P(2
3
,3)
,設切線方程,利用直線與圓相切,可得直線的斜率,進而可求|AB|,由此可求△PAB的面積.
解答:解:(Ⅰ)由題意F(0,1)
設M(x1,y1),N(x2,y2),PF的方程為y=kx+1代入x2=4y得x2-4kx-4=0
|MN|=y1+y2+2=k(x1+x2)+4=4k2+4≥4
故當k=0時,|MN|min=4                              …(5分)
(Ⅱ)設P(a,
a2
4
)
,y=
x2
4
,∴y′=
x
2

∴拋物線在點P處切線:y=
a
2
(x-a)+
a2
4
=
a
2
x-
a2
4

∴圓心C到該切線距離
|1-
a2
4
|
a2
4
+1
=1
,∴a2=12
由對稱性,不妨設P(2
3
,3)
…(9分)
顯然過P作圓C的兩條切線斜率都存在,設y-3=k(x-2
3
)
,
kx-y+3-2
3
k=0

因為相切,所以
|4-2
3
k|
k2+1
=1

11k2-16
3
k+15=0

∴k=
3
k=
5
3
11

y-3=k(x-2
3
)
中,令y=-2,得x=
-5
k
+2
3
…(13分)
|AB|=
-5
3
-
-5
5
3
11
=2
3

S△PAB=
1
2
|AB|(yP+2)=5
3
…(15分)
點評:本題考查拋物線中過焦點的弦長計算,考查拋物線的切線,正確運用拋物線的切線是關鍵.
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3
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