對(duì)于定義在D上的函數(shù)f(x),若存在距離為d的兩條直線y=kx+m1和y=kx+m2,使得對(duì)任意x∈D都有kx+m1≤f(x)≤kx+m2恒成立,則稱函數(shù)f(x)(x∈D)有一個(gè)寬度為d的通道.給出下列函數(shù):①f(x)=
1
x
,②f(x)=sinx,③f(x)=
x2-1
,其中在區(qū)間[1,+∞)上通道寬度可以為1的函數(shù)有( 。
分析:對(duì)于①,只需考慮反比例函數(shù)在[1,+∞)上的值域即可;
對(duì)于②,要分別考慮函數(shù)的值域和圖象性質(zhì);
對(duì)于③,則需從函數(shù)圖象入手,尋找符合條件的直線即可.
解答:解:對(duì)于①,當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),0<
1
x
≤1,故在[1,+∞)有一個(gè)寬度為1的通道,兩條直線可取y=0,y=1;
對(duì)于②,當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),-1≤sinx≤1,故在[1,+∞)不存在一個(gè)寬度為1的通道;
對(duì)于③,當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),f(x)=
x2-1
表示雙曲線x2-y2=1在第一象限的部分,雙曲線的漸近線為y=x,故可取另一直線為y=x-2,滿足在[1,+∞)有一個(gè)寬度為1的通道;
∴在區(qū)間[1,+∞)上通道寬度可以為1的函數(shù)有①③
故答案為:①③
點(diǎn)評(píng):本題考查的重點(diǎn)是對(duì)新定義的理解,解題的關(guān)鍵是通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì),找出滿足題意的直線.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

對(duì)于定義在D上的函數(shù)y=f(x),若同時(shí)滿足.
①存在閉區(qū)間[a,b]⊆D,使得任取x1∈[a,b],都有f(x1)=c (c是常數(shù));
②對(duì)于D內(nèi)任意x2,當(dāng)x2∉[a,b]時(shí)總有f(x2)>c稱f(x)為“平底型”函數(shù).
(1)(理)判斷f1(x)=|x-1|+|x-2|,f2(x)=x+|x-2|是否是“平底型”函數(shù)?簡(jiǎn)要說(shuō)明理由;
(文)判斷f1(x)=|x-1|+|x-2|,f2(x)=x-|x-3|是否是“平底型”函數(shù)?簡(jiǎn)要說(shuō)明理由;
(2)(理)設(shè)f(x)是(1)中的“平底型”函數(shù),若|t-k|+|t+k|≥|k|•f(x),k∈R且k≠0,對(duì)一切t∈R恒成立,求實(shí)數(shù)x的范圍;
(文)設(shè)f(x)是(1)中的“平底型”函數(shù),若|t-1|+|t+1|≥f(x),對(duì)一切t∈R恒成立,求實(shí)數(shù)x的范圍;
(3)(理)若F(x)=mx+
x2+2x+n
,x∈[-2,+∞)是“平底型”函數(shù),求m和n的值;
(文)若F(x)=m|x-1|+n|x-2|是“平底型”函數(shù),求m和n滿足的條件.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

對(duì)于定義在D上的函數(shù)y=f(x),若同時(shí)滿足①存在閉區(qū)間[a,b]⊆D,使得任取x1∈[a,b],都有f(x1)=c(c是常數(shù));②對(duì)于D內(nèi)任意x2,當(dāng)x2∉[a,b]時(shí)總有f(x2)>c;則稱f(x)為“平底型”函數(shù).
(1)判斷f1(x)=|x-1|+|x-2|,f2(x)=x+|x-2|是否是“平底型”函數(shù)?簡(jiǎn)要說(shuō)明理由;
(2)設(shè)f(x)是(1)中的“平底型”函數(shù),若|t-k|+|t+k|≥|k|•f(x),(k∈R,k≠0)對(duì)一切t∈R恒成立,求實(shí)數(shù)x的范圍;
(3)若F(x)=mx+
x2+2x+n
,x∈[-2,+∞)
是“平底型”函數(shù),求m和n的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

對(duì)于定義在D上的函數(shù)y=f(x),若同時(shí)滿足:①f(x)在D內(nèi)單調(diào);②存在區(qū)間[a,b]⊆D,使f(x)在區(qū)間[a,b]上值域?yàn)閇a,b],則函數(shù)y=f(x)(x∈D)稱為閉函數(shù).按照上述定義,若函數(shù)y=
2x
為閉函數(shù),則符合條件②的區(qū)間[a,b]可以是
[1,2]或[-2,-1]等等(答案不唯一)
[1,2]或[-2,-1]等等(答案不唯一)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

對(duì)于定義在D上的函數(shù)f(x),如果存在常數(shù)M和N,使得對(duì)于任意x∈D,都有M≤f(x)≤N成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的一個(gè)下界,N稱為函數(shù)f(x)的一個(gè)上界.
(1)判斷函數(shù)f(x)=log2x-x2在(0,+∞)上是否為有界函數(shù),不必說(shuō)明理由;
(2)判斷函數(shù)f(x)=1+(
1
2
x+(
1
4
x在[0,+∞)上是否為有界函數(shù),請(qǐng)說(shuō)明理由
(3)若函數(shù)f(x)=1+a(
1
2
x+(
1
4
x在[0,+∞)上是有界函數(shù),且3是f(x)的一個(gè)上界,-3是f(x)的一個(gè)下界,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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