Question

在△ABC中，a，b，c分別為角A、B、C的對(duì)邊，sin2A-sin2C=sin2B-

8

5

sinBsinC，a=3，△ABC的面積為6，D為△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，點(diǎn)D到三邊距離之和為d．
（1）角A的正弦值；           
（2）求邊b、c；       
（3）求d的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式sin2A-sin2C=sin2B-

8

5

sinBsinC，得到cosA的值，然后根據(jù)A的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinA的值即可；
（2）根據(jù)三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，讓面積等于6即可得到bc的值，然后根據(jù)余弦定理表示出cosA，把bc的值和a的值代入即可得到b與c的平方和的值，與bc的值聯(lián)立即可求出b與c的值；
（3）設(shè)點(diǎn)D到三角形三邊的距離分別為x，y和z，然后根據(jù)三角形的面積分為三個(gè)小三角形來(lái)求，利用三角形的三邊分別為3，4，5，高分別為x，y和z，利用三角形的面積公式表示三個(gè)小三角形的面積之和等于三角形ABC的面積等于6，得到關(guān)于x，y和z的方程，解出z，根據(jù)d=x+y+z，把表示出的z代入即可得到d關(guān)于x與y的關(guān)系式，根據(jù)x與y大于等于0，z大于等于0得到3x+4y小于等于12，畫(huà)出不等式表示的平面區(qū)域，即可得到d的取值范圍．

解答：解：（1）a2-c2=b2-

8bc

5

?

b2+c2-a2

2bc

=

4

5

?cosA=

4

5

?sinA=

3

5

；
（2）∵S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

bc•

3

5

=6，
∴bc=20，由

b2+c2-a2

2bc

=

4

5

及bc=20與a=3，
得到b²+c²=41，與bc=20聯(lián)立，
解得：b=4，c=5或b=5，c=4；
（3）設(shè)D到三邊的距離分別為x、y、z，
則S△ABC=

1

2

(3x+4y+5z)=6，d=x+y+z=

12

5

+

1

5

(2x+y)，
又x、y滿足

3x+4y≤12 x≥0 y≥0

，
畫(huà)出不等式表示的平面區(qū)域如圖所示：
得到d的取值范圍為：

12

5

＜d＜4．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用正弦、余弦定理化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用三角形的面積公式化簡(jiǎn)求值，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，是一道中檔題．