Question

已知平面直角坐標(biāo)系xoy中O是坐標(biāo)原點，A（6，2

3

），B（8，0），圓C是△OAB的外接圓，過點（2，6）的直線為l．
（1）求圓C的方程；
（2）若l與圓相切，求切線方程；
（3）若l被圓所截得的弦長為4

3

，求直線l的方程．

Answer 1

（1）∵O（0，0），A（6，2

3

），
∴直線OA的方程斜率為

2 3 -0

6-0

=

3

3

，
∴線段OA垂直平分線的斜率為-

3

，又線段AO的中點坐標(biāo)為（3，

3

），
∴線段OA垂直平分線的方程為y-

3

=-

3

（x-3），即

3

x+y-4

3

=0①，
又線段OB的垂直平分線為x=4②，
∴將②代入①解得：y=0，
∴圓心C的坐標(biāo)為（4，0），
又|OC|=4，即圓C的半徑為4，
則圓C的方程為：（x-4）²+y²=16；
（2）顯然切線方程的斜率存在，設(shè)切線l的斜率為k，又切線過（2，6），
∴切線l的方程為y-6=k（x-2），即kx-y+6-2k=0，
∴圓心到切線的距離d=r，即

|2k+6|

k2+1

=4，
解得：k=

3±2 6

3

，
則切線l的方程為：y-6=

3±2 6

3

（x-2）；       
（3）當(dāng)直線l的斜率不存在時，顯然直線x=2滿足題意；
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)斜率為k，又直線l過（2，6），
∴切線l的方程為y-6=k（x-2），即kx-y+6-2k=0，
又弦長為4

3

，半徑r=4，
∴圓心到切線的距離d=

42-(2 3 )2

=2，即

|2k+6|

k2+1

=2，
解得：k=-

4

3

，
∴直線l的方程為y-6=-

4

3

（x-2），即4x+3y-26=0，
綜上，直線l的方程為x=2或4x+3y-26=0．