Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAD丄底面ABCD,..

(1)求證：平面PAB丄平面PCD

(2)如果AB=BC=2,PB=PC=求四棱錐P-ABCD的體積.

 

Answer 1

(1) 見解析 (2)

【解析】

試題分析：(1)欲證平面平面,只需證其中的一個平面經(jīng)過另一平面的一條垂線即可，考慮到題設(shè)中所給的矩形以及面面垂直關(guān)系，易證：,從而平面；

(2)作，垂足為，連結(jié)；可證≌是的中點,

從而求得四棱錐的高,進(jìn)一步求得四棱錐的體積.

試題解析：（Ⅰ）因為四棱錐的底面是矩形，所以，

又側(cè)面底面，所以．

又，即，而，所以平面．

因為PA?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD． 4分

（Ⅱ）如圖，作PO⊥AD，垂足為O，則PO⊥平面ABCD．

連結(jié)OB，OC，則PO⊥OB，PO⊥OC．

因為PB＝PC，所以Rt△POB≌Rt△POC，所以O(shè)B＝OC．

依題意，ABCD是邊長為2的正方形，由此知O是AD的中點． 7分

在Rt△OAB中，AB＝2，OA＝1，OB＝．

在Rt△OAB中，PB＝，OB＝，PO＝1． 10分

故四棱錐P-ABCD的體積V＝AB2·PO＝．

考點：1、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)；2、棱錐的體積.