Question

（2007•武漢模擬）已知雙曲線y²-x²=1，過(guò)上焦點(diǎn)F₂的直線與下支交于A、B兩點(diǎn)，且線段AF₂、BF₂的長(zhǎng)度分別為m、n．
（1）寫(xiě)出直線AB的斜率k的取值范圍；
（2）證明mn≥1；
（3）當(dāng)直線AB的斜率k∈[

1

3

，

5

5

]時(shí)，求mn的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）結(jié)合等軸雙曲線的性質(zhì)能夠?qū)懗鲋本�AB的斜率k的取值范圍．
（2）雙曲線焦點(diǎn)為(0，

2

)．設(shè)直線AB的方程為y=kx+

2

，A(x1，y1)，B(x2，y2)．當(dāng)k=0時(shí)，mn=1．當(dāng)k≠0時(shí)，將y=kx+

2

代入雙曲線方程，得(1-k2)y2-2

2

y+k2+2=0．由雙曲線的第二定義，知m=-1+

2

y1，n=-1+

2

y2，由此能夠證明mn≥1．
（3）記mn=λ，由

1+k2

1-k2

=λ，解得k2=

λ-1

λ+1

．由

1

9

≤k2≤

1

5

，解得

4

5

≤λ≤

3

2

為所求．

解答：解：（1）所求斜率的范圍是-1＜k＜1．
（說(shuō)明：只要寫(xiě)出范圍，不需考查過(guò)程）（2分）
（2）易知雙曲線上焦點(diǎn)為(0，

2

)．
設(shè)直線AB的方程為y=kx+

2

，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
當(dāng)k=0時(shí)，A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1和-1，
此時(shí)mn=1．（4分）
當(dāng)k≠0時(shí)，將y=kx+

2

代入雙曲線方程，消去x得(1-k2)y2-2

2

y+k2+2=0．（6分）
由雙曲線的第二定義，知m=-1+

2

y1，n=-1+

2

y2（8分）
所以，mn=1+2y1y2-

2

(y1+y2)=

1+k2

1-k2

=1+

2

1 k2 -1

＞1．
綜上，知mn≥1．（10分）
（3）記mn=λ，由（2）知，

1+k2

1-k2

=λ，
解得k2=

λ-1

λ+1

．
由

1

9

≤k2≤

1

5

，解得

4

5

≤λ≤

3

2

為所求．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．