Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinx-2sin²$\frac{x}{2}$+1，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）求f′（x）的最小正周期和最大值；
（2）函數(shù)F（x）=f（x）f′（x）-$\sqrt{3}$f²（x），當(dāng)x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]時(shí)，|F（x）|≤m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可的最小正周期和最大值；
（2）求出函數(shù)F（x）=f（x）f′（x）-$\sqrt{3}$f²（x）的表達(dá)式，求出當(dāng)x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]時(shí)，|F（x）|的最大值即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sinx-2sin²$\frac{x}{2}$+1=$\sqrt{3}$sinx+cosx，
∴f′（x）=$\sqrt{3}$cosx-sinx=2cos（x+$\frac{π}{6}$），
則函數(shù)的最小正周期T=2π．最大值為2；
（2）函數(shù)F（x）=f（x）f′（x）-$\sqrt{3}$f²（x）
=（$\sqrt{3}$sinx+cosx）（$\sqrt{3}$cosx-sinx）-$\sqrt{3}$×（$\sqrt{3}$sinx+cosx）²
=3sinxcosx-sinxcosx+$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$sin²x-$\sqrt{3}$（3sin²x+cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx）
=2sinxcosx+$\sqrt{3}$cos2x-$\sqrt{3}$（1+2sin²x+$\sqrt{3}$sin2x）
=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x-3sin2x-$\sqrt{3}$（2-cos2x）
=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x-3sin2x-2$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$cos2x
=2$\sqrt{3}$cos2x-2sin2x-2$\sqrt{3}$
=4cos（2x+$\frac{π}{6}$）-2$\sqrt{3}$．
當(dāng)x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]時(shí)，
2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$]，
則cos（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
4cos（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-2，4]，
4cos（2x+$\frac{π}{6}$）-2$\sqrt{3}$∈[-2-2$\sqrt{3}$，4-2$\sqrt{3}$]，
則0≤|4cos（2x+$\frac{π}{6}$）-2$\sqrt{3}$|≤2+2$\sqrt{3}$，
若|F（x）|≤m恒成立，
則m≥2+2$\sqrt{3}$，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍[2+2$\sqrt{3}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．