Question

y=x²+2ax+3，x∈（-2，3]，求函數(shù)值域．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由于y=f（x）=x²+2ax+3的對(duì)稱軸方程為x=-a，分對(duì)稱軸在區(qū)間的左側(cè)、對(duì)稱軸在區(qū)間中間但靠近左側(cè)、對(duì)稱軸在區(qū)間中間但靠近右側(cè)、對(duì)稱軸在區(qū)間右側(cè)四種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的值域．

解答： 解：由于y=f（x）=x²+2ax+3的對(duì)稱軸方程為x=-a，
①當(dāng)-a≤-2，即a≥2時(shí)，函數(shù)y在區(qū)間（-2，3]上是增函數(shù)，
故函數(shù)的值域?yàn)椋?-4a，12+6a]．
②當(dāng)-2＜-a≤

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，即-

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≤a＜2時(shí)，最小值f（-a）=3-a²，最大值為 f（3）=12+6a，
故函數(shù)的值域?yàn)閇3-a²，12+6a]．
③當(dāng)

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＜-a≤3，即-3≤a＜-

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時(shí)，最小值f（-a）=3-a²，最大值為 f（2）=7+4a，
故函數(shù)的值域?yàn)閇3-a²，7+4a]．
④當(dāng)-a＞3，即a＜-3時(shí)，函數(shù)y在區(qū)間（-2，3]上是減函數(shù)，
值域?yàn)閇12+6a，7-4a]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．