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已知直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,且AB=2,AD=3,CD=1,點E、F分別在AD、BC上,滿足AE=
1
3
AD,BF=
1
3
BC
.現將此梯形沿EF折疊成如圖所示圖形,且使AD=
3

(1)求證:AE⊥平面ABCD;
(2)求二面角D-CE-A的大。
分析:(1)欲證AE⊥平面ABCD,根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證AE與平面ABCD內兩相交直線垂直,而EA⊥AD,EA⊥AB,AB∩AD=A,滿足定理條件
(2)由圖,可以A為原點,建立空間直角坐標系,寫出各點的坐標,由向量運算求出兩個平面的法向量,再由數量積公式求出兩個平面的夾角的余弦值.
解答:解:(1)折疊后由已知:AE=
1
3
AD=1
,DE=2,AD=
3
,∴AE2+AD2=DE2,即:AE⊥AD,又AE⊥AB,AD∩AB=A,∴AE⊥平面ABCD
(2)(Ⅱ)解:以點A為坐標原點,建立如圖空間直角坐標系,
A(0,0,0),C(
3
,1,0),E(0,0,1),D(
3
, 0,0)

DC
=(0,1,0),
DE
=(-
3
,0,1)
設平面DCE的一個法向量為
m
=(x,y,z),則
m
DC
=y=0
m
DE
=-
3
x+z=0

取x=1則得出
m
=(1,0,
3

設平面CEA的一個法向量為
n
=(x′,y′,z′)
AC
=(
3
, 1,0)
,
AE
=(0,0,1)
n
AC
=
3
x+y=0
n
AE
=z=0

取x=1,則得
n
=(1,-
3
,0)
cos<
m
,
n
>=
m
n
|
m
|•|
n
|
=
1
2×2
=
1
4

所以二面角D-CE-A的大小arccos
1
4
點評:本題考查直線與平面垂直的判定,用空間向量求二面角的夾角.考查考查空間想象、推理論證、計算能力.利用向量求解決立體幾何問題是近幾年高考的熱點,向量法解決立體幾何問題降低了思維難度,化推理為計算,使得幾何求解、證明變得簡單,此法也有不足,需要建立坐標系,且運算量較大.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=1+
3
,過A作AE⊥CD,垂足為E,G、F分別為AD、CE的中點,現將△ADE沿AE折疊,使得DE⊥EC.
(1)求證:BC⊥面CDE;
(2)求證:FG∥面BCD.
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=1+
3
,過A作AE⊥CD,垂足為E,G、F分別為AD、CE的中點,現將△ADE沿AE折疊,使得DE⊥EC.
(1)求證:FG∥面BCD;
(2)設四棱錐D-ABCE的體積為V,其外接球體積為V′,求V:V′的值.
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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網已知直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=1+
3
,過A作AE⊥CD,垂足為E,G、F分別為AD、CE的中點,現將△ADE沿AE折疊,使DE⊥EC.
(1)求證:BC⊥平面CDE;
(2)求證:FG∥平面BCD;
(3)求四棱錐D-ABCE的體積.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,已知直角梯形ABCD的上底BC=
2
,BC∥AD,BC=
1
2
AD
CD⊥AD,PDC⊥,平面平面ABCD,△PCD是邊長為2的等邊三角形.
(1)證明:AB⊥PB;
(2)求二面角P-AB-D的大小.
(3)求三棱錐A-PBD的體積.

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