Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2x+a，其中a＞0，若存在實(shí)數(shù)t，使f（t）＜0，則f（t+2）•f（

2t+1

3

）的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知可得f（x）=x²-2x+a＜0的解集（m，n），滿足（m，n）⊆（0，2），進(jìn)而分析f（t）＜0時(shí)，f（t+2），f（

2t+1

3

）的符號(hào)，進(jìn)而可得f（t+2）•f（

2t+1

3

）的符號(hào)．

解答： 解：∵f（x）=x²-2x+a=0，
則|x₂-x₁|²=（x₂+x₁）²-4x₂•x₁=4-4a，
∵0＜4-4a＜4，
∴0＜|x₂-x₁|＜2，
又∵f（0）=f（2）=a＞0，函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱軸x=1∈（0，2），
設(shè)f（x）=x²-2x+a＜0的解集為（m，n），
則（m，n）⊆（0，2），
當(dāng)t∈（m，n）⊆（0，2）時(shí)，
t+2∈（2，4），故f（t+2）＞0，

2t+1

3

∈（

2m+1

3

，

2n+1

3

）⊆（m，n），故f（

2t+1

3

）＜0，
故f（t+2）•f（

2t+1

3

）＜0，
即f（t+2）•f（

2t+1

3

）的值為負(fù)．
故答案為：負(fù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中根據(jù)已知分析出f（t+2），f（

2t+1

3

）的符號(hào)，是解答的關(guān)鍵．