如圖,設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O,長(zhǎng)軸在x軸上,上頂點(diǎn)為A,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,線段OF1,OF2的中點(diǎn)分別為B1,B2,且△AB1B2是面積為4的直角三角形.
(Ⅰ)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過B1作直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn),使PB2⊥QB2,求△PB2Q的面積.

【答案】分析:(Ⅰ)設(shè)橢圓的方程為,F(xiàn)2(c,0),利用△AB1B2是的直角三角形,|AB1|=AB2|,可得∠B1AB2為直角,從而,利用c2=a2-b2,可求,又S=|B1B2||OA|==4,故可求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知B1(-2,0),B2(2,0),由題意,直線PQ的傾斜角不為0,故可設(shè)直線PQ的方程為x=my-2,代入橢圓方程,消元可得(m2+5)y2-4my-16-0,利用韋達(dá)定理及PB2⊥QB2,利用可求m的值,進(jìn)而可求△PB2Q的面積.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)橢圓的方程為,F(xiàn)2(c,0)
∵△AB1B2是的直角三角形,|AB1|=AB2|,∴∠B1AB2為直角,從而|OA|=|OB2|,即
∵c2=a2-b2,∴a2=5b2,c2=4b2,∴
在△AB1B2中,OA⊥B1B2,∴S=|B1B2||OA|=
∵S=4,∴b2=4,∴a2=5b2=20
∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知B1(-2,0),B2(2,0),由題意,直線PQ的傾斜角不為0,故可設(shè)直線PQ的方程為x=my-2
代入橢圓方程,消元可得(m2+5)y2-4my-16=0①
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
,
,
=
∵PB2⊥QB2,∴
,∴m=±2
當(dāng)m=±2時(shí),①可化為9y2±8y-16-0,
∴|y1-y2|==
∴△PB2Q的面積S=|B1B2||y1-y2|=×4×=
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查橢圓的幾何性質(zhì),考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查向量知識(shí)的運(yùn)用,考查三角形的面積計(jì)算,綜合性強(qiáng).
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(2012•重慶)如圖,設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O,長(zhǎng)軸在x軸上,上頂點(diǎn)為A,左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,線段OF1,OF2的中點(diǎn)分別為B1,B2,且△AB1B2是面積為4的直角三角形.
(Ⅰ)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過B1做直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn),使PB2⊥QB2,求直線l的方程.

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(Ⅰ)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程;
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(1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過B1作直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn),使PB2⊥QB2,求直線l的方程.

 

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如圖,設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O,長(zhǎng)軸在x軸上,上頂點(diǎn)為A,左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,線段OF1,OF2的中點(diǎn)分別為B1,B2,且△AB1B2是面積為4的直角三角形.
(1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過B1做直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn),使PB2⊥QB2,求直線l的方程。

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(Ⅰ)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過B1做直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn),使PB2⊥QB2,求直線l的方程.

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