Question

如圖，在五面體ABCDE中，平面BCD⊥平面ABC，DC=DB=

3

，AC=BC=2ED=2，AC⊥BC，且ED∥AC    
（1）求證：平面ABE⊥平面ABC
（2）在線段BC上有一點(diǎn)F，且BF=

1

2

，求二面角F-AE-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取BC中點(diǎn)O，AB中點(diǎn)M，連接DO、OM、EM，可證出四邊形DOME是平行四邊形，得EM∥DO．接下來(lái)可以證明EM⊥平面ABC，結(jié)合EM?平面ABE，可得平面ABE⊥平面ABC；
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)M、OB、OD所在直線為x、y、z軸，建立如圖坐標(biāo)系，得出圖中各點(diǎn)的坐標(biāo)，得

FA

=（2，-

3

2

，0），

AE

=（-1，1，

2

），利用垂直向量數(shù)量積為0建立方程組，解之算出平面FAE的法向量為

n

=（1，-

4

3

，-

2

6

）．最后結(jié)合

CM

=(1，1，0)為平面ABE的法向量，利用空間兩個(gè)向量的夾角公式加以計(jì)算，即可算出二面角F-AE-B的余弦值．

解答：解：（1）取BC中點(diǎn)O，AB中點(diǎn)M，連接DO、OM、EM
∵DO是等腰△BCD底邊上的中線，∴DO⊥BC
∵平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC=BC，DO?平面BCD
∴DO⊥平面ABC，
∵OM是△ABC的中位線，∴OM∥AC且OM=

1

2

AC
∵ED∥AC且ED=

1

2

AC，∴OM∥ED，得四邊形DOME是平行四邊形
∴EM∥DO，結(jié)合DO⊥平面ABC，得EM⊥平面ABC，
∵EM?平面ABE，∴平面ABE⊥平面ABC
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)M、OB、OD所在直線為x、y、z軸，建立如圖坐標(biāo)系，
可得B（0，1，0），F(xiàn)（0，

1

2

，0），C（0，-1，0），A（2，-1，0）
D（0，0，

2

），E（1，0，

2

），M（1，0，0）
∴

FA

=（2，-

3

2

，0），

AE

=（-1，1，

2

）
設(shè)平面FAE的一個(gè)法向量為

n

=(x，y，z)
由

n • FA =0 n • AE =0

得

2x- 3 2 y=0 -x+y+ 2 z=0

，
令x=1，得

y= 4 3 z=- 2 6

，∴

n

=(1，

4

3

，-

2

6

)
又∵

CM

=(1，1，0)，

AB

=(-2，2，0)，

BE

=(1，-1，

2

)，

CM • AB =0 CM • BE =0

∴

CM

=(1，1，0)為平面ABE的一個(gè)法向量
得cos＜

n

，

CM

＞=

n • CM

|n| • |CM|

=

1×1+ 4 3 ×1+(- 2 6 )×0

51 18 × 2

=

7 51

51

，
又∵二面角F-AE-B為為銳二面角，
∴二面角F-AE-B的余弦值為

7 51

51

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給特殊四棱錐，求證面面垂直并求銳二面角的余弦之值，著重考查了平面與平面垂直的判定、空間坐標(biāo)系的建立和二面角的平面角及求法等知識(shí)，屬于中檔題．