Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

2

，且過（2，0）點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）當(dāng)直線l：y=x+m與橢圓C相交時，求m的取值范圍；
（3）設(shè)直線l：y=x+m與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，若

OA

•

OB

=0，求m的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，

c

a

=

3

2

，

4

a2

=1，結(jié)合a²=b²+c²，可求a，b，進(jìn)而可求橢圓C的方程
（2）聯(lián)立

x2 4 +y2=1 y=x+m

，消去y得5x²+8mx+4m²-4=0，由直線l：y=x+m與橢圓C相交時，可得方程有2個不等實根，結(jié)合二次方程的根的個數(shù)的條件可求m的范圍
（3）設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），由

OA

•

OB

=0，可得x₁x₂+y₁y₂=0，結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系可求m

解答：解：（1）因為

c

a

=

3

2

，

4

a2

=1
所以a=2，c=

3

，
又a²=b²+c²，所以b=1，
所以橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．（4分）
（2）聯(lián)立

x2 4 +y2=1 y=x+m

，消去y得5x²+8mx+4m²-4=0，（6分）
△=64m²-80（m²-1）=-16m²+80，
令△＞0，即-16m²+80＞0，解得-

5

＜m＜

5

．（8分）
（3）設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由（2）得x1+x2=-

8

5

m，x1x2=

4m2-4

5

，（10分）
又因為

OA

•

OB

=0，所以∠AOB為直角，即x₁x₂+y₁y₂=0，（12分）
所以2x1x2+m(x1+x2)+m2=0，
即

8m2-8

5

-

8

5

m2+m2=0，
解得m=±

2

5

10

；（14分）

點評：本題主要考查了利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓方程，直線與橢圓的相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的 根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用是求解本題的關(guān)鍵