Question

（1）證明：cos（α-β）=cosα•cosβ+sinα•sinβ
（2）若0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，cos(

π

4

+α)=

1

3

，cos(

π

4

-

β

2

)=

3

3

，求cos(α+

β

2

)的值．

Answer 1

分析：（1）在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O，以O(shè)x為始邊作角α，β，它們的終邊與單位圓O的交點(diǎn)分別為A，B．
則

OA

=（cosα，sinα），

OB

=(cosβ，sinβ)．利用數(shù)量積可得：

OA

•

OB

=cosαcosβ+sinαsinβ．
設(shè)

OA

與

OB

的夾角為θ，則

OA

•

OB

=|

OA

| |

OB

|cosθ=cosθ．另一方面，由α=2kπ+β+θ，或α=2kπ+β-θ．
α-β=2kπ±θ，k∈Z．即可證明．
（2）由于0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，cos(

π

4

+α)=

1

3

，cos(

π

4

-

β

2

)=

3

3

，利用“平方關(guān)系”可得sin(

π

4

+α)，sin(

π

4

-

β

2

)，變形cos(α+

β

2

)=cos[(

π

4

+α)-(

π

4

-

β

2

)]即可得出．

解答：（1）證明：在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O，
以O(shè)x為始邊作角α，β，它們的終邊與單位圓O的交點(diǎn)分別為A，B．
則

OA

=（cosα，sinα），

OB

=(cosβ，sinβ)．
則

OA

•

OB

=cosαcosβ+sinαsinβ．
設(shè)

OA

與

OB

的夾角為θ，則

OA

•

OB

=|

OA

| |

OB

|cosθ=cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ．
另一方面，由α=2kπ+β+θ，或α=2kπ+β-θ．
∴α-β=2kπ±θ，k∈Z．
∴cos（α-β）=cosθ．
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．
（2）解：∵0＜α＜

π

2

，cos(

π

4

+α)=

1

3

，∴

π

4

＜α+

π

4

＜

π

2

，∴sin(α+

π

4

)=

1-cos2(α+ π 4 )

=

2 2

3

．
∵-

π

2

＜β＜0，∴

π

4

＜

π

4

-β＜

3π

4

，∵cos(

π

4

-

β

2

)=

3

3

，∴sin(

π

4

-

β

2

)=

1-cos2( π 4 - β 2 )

=

6

3

．
∴cos(α+

β

2

)=cos[(

π

4

+α)-(

π

4

-

β

2

)]=cos(

π

4

+α)cos(

π

4

-

β

2

)+sin(

π

4

+α)sin(

π

4

-

β

2

)
=

1

3

×

3

3

+

2 2

3

×

6

3

=

5 3

9

．

點(diǎn)評：本題考查了利用數(shù)量積證明兩角和的余弦公式、三角函數(shù)的基本關(guān)系式、拆分角等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．