Question

【題目】已知函數(shù)

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）過點存在幾條直線與曲線相切，并說明理由；

（3）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為；（2）三條切線，理由見解析；（3）

【解析】

（1）對求導(dǎo)，分別令，，得到的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)切點坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)得切線斜率，表示出切線方程，代入過點，得到的方程，解出的值，從而得到結(jié)論；

（3）設(shè)，分為，，進(jìn)行討論，易得，時的情況，當(dāng)時，易得時成立，時，令，利用導(dǎo)數(shù)，得到，從而得到的范圍.

（1），

得，或；

得，；

所以的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為；

（2）過點可做的三條切線；理由如下：

設(shè)切點坐標(biāo)為，

所以切線斜率

所以過切點的切線方程為：，

切線過點，代入得，

化簡得，

方程有三個解，，，，即三個切點橫坐標(biāo)，

所以過點可做的三條切線.

（3）設(shè)，

①時，因為，，所以顯然對任意恒成立；

②時，若，則不成立，

所以不合題意.

③時，時，顯然成立，

只需考慮時情況；

轉(zhuǎn)化為對任意恒成立

令（），

則，

，

當(dāng)時，，單調(diào)減；

當(dāng)時，，單調(diào)增；

所以，

所以.

綜上所述，的取值范圍.