Question

9．設(shè)F為拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作直線且交C于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，△OAB的面積為2$\sqrt{2}$，則|AB|=（　�。�

• A． 6
• B． 8
• C． 10
• D． 12

Answer 1

分析 由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線AB的方程，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)到直線的距離公式，求得k的值，即可求得|AB|．

解答 解：根據(jù)題意，拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0）．
設(shè)直線AB的斜率為k，可得直線AB的方程為y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$消去x，得y²-$\frac{4}{k}$y-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由根與系數(shù)的關(guān)系可得y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-4．
丨AB丨=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$
O到直線AB的距離d=$\frac{丨k丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
則△OAB的面積S=$\frac{1}{2}$丨AB丨•d=$\frac{1}{2}$×$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$×$\frac{丨k丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$，
解得：k=1，
∴丨AB丨=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$=8，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．