Question

設(shè)橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率為，過原點(diǎn)O斜率為1的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，橢圓右焦點(diǎn)F到直線l的距離為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)P是橢圓上異于M，N外的一點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率存在且不為零時(shí)，記直線PM的斜率為k₁，直線PN的斜率為k₂，試探究k₁•k₂是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)橢圓的焦距為2c（c＞0），F(xiàn)（c，0），直線l：x-y=0，F(xiàn)到l的距離為，解得c，進(jìn)一步求得a，b的值，從而寫出橢圓C的方程；
（Ⅱ）由解得，或，表示出直線PM和PN的斜率，求的兩直線斜率乘積的表達(dá)式，把y和x的表達(dá)式代入發(fā)現(xiàn)結(jié)果與p無關(guān)．
解答：解：（I）設(shè)橢圓的焦距為2c（c＞0），F(xiàn)（c，0），直線l：x-y=0，F(xiàn)到l的距離為，解得c=2．又∵，∴，∴b=2．
∴橢圓C的方程為．（6分）
（Ⅱ）由解得，或，
不妨設(shè)，P（x，y），
∴，
由，即x²=8-2y²，代入化簡(jiǎn)得為定值．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．