Question

【題目】如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2 ，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)．
（1）求證：AF∥平面PCE；
（2）求證：平面PCE⊥平面PCD；
（3）求四面體PEFC的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設(shè)G為PC的中點(diǎn)，連接FG，EG，

∵F為PD的中點(diǎn)，E為AB的中點(diǎn)，

∴FG CD，AE CD

∴FG AE，∴AF∥GE

∵GE平面PEC，

∴AF∥平面PCE

（2）證明：∵PA=AD=2，∴AF⊥PD

又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD=A，

∴CD⊥平面PAD，

∵AF平面PAD，∴AF⊥CD．

∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，

∴GE⊥平面PCD，

∵GE平面PEC，

∴平面PCE⊥平面PCD

（3）由（2）知，GE⊥平面PCD，

所以EG為四面體PEFC的高，

又GF∥CD，所以GF⊥PD，

EG=AF= ，GF= CD= ，

S△PCF= PDGF=2．

得四面體PEFC的體積V= S△PCFEG=

【解析】（1）設(shè)G為PC的中點(diǎn)，連接FG，EG，根據(jù)中位線定理得到FG CD，AE CD，進(jìn)而可得到AF∥GE，再由線面平行的判定定理可證明AF∥平面PCE，得證．（2）根據(jù)PA=AD=2可得到AF⊥PD，再由線面垂直的性質(zhì)定理可得到PA⊥CD，然后由AD⊥CD結(jié)合線面垂直的判定定理得到CD⊥平面PAD，同樣得到GE⊥平面PCD，再由面面垂直的判定定理可得證．（3）先由（2）可得知EG為四面體PEFC的高，進(jìn)而求出S△PCF ， 根據(jù)棱錐的體積公式可得到答案．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征和直線與平面平行的判定的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方；平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．