Question

已知數(shù)列{a_n}各項均為正數(shù)，其前n項和為S_n，點（a_n，S_n）在曲線（x+1）²=4y上．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設數(shù)列{b_n}滿足b₁=3，令b_n+1=a_bn，設數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求數(shù)列{T_n-6n}中最小項的值．

Answer 1

解（1）∵點（a_n，S_n）在曲線（x+1）²=4y上．
∴（a_n+1）²=S_n×4
當n≥2時，（a_n-1+1）²=S_n-1
兩式相減可得S_n-S_n-1=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²=a_n×4
即（a_n-1）²=（a_n-1+1）²
∴（a_n-a_n-1-2）（a_n+a_n-1）=0
∵a_n＞0∴a_n-a_n-1=2∵，（a₁+1）²=4S₁∴a₁=1
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1
（2）∵b_n+1=abn=2bn-1
∴b_n+1-1=2（b_n-1）∵b₁=3
∴b_n-1=2•2^n-1=2ⁿ
∴b_n=2ⁿ+1
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=2+1+2²+1+…+2ⁿ+1
=

2(1-2n)

1-2

+n
=2ⁿ⁺¹+n-2
∴T_n-6n=2ⁿ⁺¹-5n-2
令F（n）=2ⁿ⁺¹-5n-2
∵F（n+1）-F（n）=2ⁿ⁺¹-5
當n=1時，F(xiàn)（2）＜F（1）
當n≥2時，F(xiàn)（n）＞F（n-1）＞…F（3）＞f（2）
∴F（n）最小值為F（2）=-4