Question

【題目】已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（1，13），且函數(shù) 是偶函數(shù).

（1）求的解析式；

（2）已知,，求函數(shù)在[，2]上的最大值和最小值；

（3）函數(shù)的圖象上是否存在這樣的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)是正整數(shù)，縱坐標(biāo)是一個(gè)完全平方數(shù)？如果存在，求出這樣的點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2)見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析.

【解析】分析：（1）由是偶函數(shù)，知函數(shù)的對(duì)稱軸是，再由二次函數(shù)性質(zhì)可得；

（2）由（1），按的正負(fù)分類去絕對(duì)值符號(hào)，得兩個(gè)二次函數(shù)，配方得對(duì)稱軸，再按對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系分類可求得最值；

（3）假設(shè)存在，并設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)P，其中為正整數(shù)，為自然數(shù)，則，從而，即 ，注意到43是質(zhì)數(shù)，且，可得，，從而得解.

詳解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，故.

又因?yàn)槎�次函�?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（1，13），所以，故.

因此，的解析式為.

（2） 當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

由此可知=0．

當(dāng)，；

當(dāng)，；

當(dāng)，；

（3）如果函數(shù)的圖象上存在符合要求的點(diǎn)，設(shè)為P，其中為正整數(shù)，為自然數(shù)，則，從而，

即.

注意到43是質(zhì)數(shù)，且，，所以有解得

因此，函數(shù)的圖象上存在符合要求的點(diǎn)，它的坐標(biāo)為（10，121）.