【題目】已知二次函數(shù)的圖象過點(1,13),且函數(shù) 是偶函數(shù).

(1)求的解析式;

(2)已知,,求函數(shù)在[,2]上的最大值和最小值;

(3)函數(shù)的圖象上是否存在這樣的點,其橫坐標是正整數(shù),縱坐標是一個完全平方數(shù)?如果存在,求出這樣的點的坐標;如果不存在,請說明理由.

【答案】(1);(2)見解析;(3)見解析.

【解析】分析:(1)由是偶函數(shù),知函數(shù)的對稱軸是,再由二次函數(shù)性質可得;

(2)由(1),按的正負分類去絕對值符號,得兩個二次函數(shù),配方得對稱軸,再按對稱軸與區(qū)間的關系分類可求得最值;

(3)假設存在,并設點坐標P,其中為正整數(shù),為自然數(shù),則,從而 ,注意到43是質數(shù),且,可得,,從而得解.

詳解:(1)因為函數(shù)是偶函數(shù),所以二次函數(shù)的對稱軸方程為,故.

又因為二次函數(shù)的圖象過點(1,13),所以,故.

因此,的解析式為.

(2)時,,

時,,

由此可知=0.

;

;

,;

(3)如果函數(shù)的圖象上存在符合要求的點,設為P,其中為正整數(shù),為自然數(shù),則,從而,

.

注意到43是質數(shù),且,,所以有解得

因此,函數(shù)的圖象上存在符合要求的點,它的坐標為(10,121).

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B.
C.
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