已知：a、b為異面直線．

求證：經(jīng)過(guò)b有且僅有一個(gè)平面和a平行．

答案：略
解析：

證明：如圖，在b上任取一點(diǎn)A，經(jīng)過(guò)A作直線，那么和b是相交直線，它們確定平面．

∵，∴a∥平面．

∴經(jīng)過(guò)b有一個(gè)平面和a平行．

再證經(jīng)過(guò)b且與a平行的平面只有一個(gè)．

用反證法．

假設(shè)經(jīng)過(guò)b且與a平行的平面還有．

設(shè)經(jīng)過(guò)直線b上一點(diǎn)A和直線a確定平面，平面平面．

∵，∴．

這樣過(guò)點(diǎn)A有兩條直線和都和直線a平行，這與“過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行”矛盾．

∴經(jīng)過(guò)b且與a平行的平面只有一個(gè)．


提示：

欲證經(jīng)過(guò)b有且僅有一個(gè)平面和a平行，首先要證明滿足條件的平面是存在的，然后再證明符合題目要求的平面只有一個(gè)．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，直三棱柱ABC-A′B′C′內(nèi)接于高為
2
的圓柱中，已知∠ACB=90°，AA′=
2
，BC=AC=1，O為AB的中點(diǎn)．
求（1）圓柱的全面積；
（2）異面直線AB′與CO所成的角的大�。�
（3）求二面角A′-BC-A的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

10、下列命題中，正確命題的序號(hào)為
④⑤
．
①經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)都可作唯一一個(gè)平面與兩條已知異面直線都平行；
②已知平面α，直線a和直線b，且a∩α=a，b⊥a，則b⊥α；
③有兩個(gè)側(cè)面都垂直于底面的四棱柱為直四棱柱；
④三棱錐中若有兩組對(duì)棱互相垂直，則第三組對(duì)棱也一定互相垂直；
⑤三棱錐的四個(gè)面可以都是直角三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知如圖（1），正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2a，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊上的點(diǎn)，且滿足
CE
CA
=
CF
CB
=k，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如圖（2）．
（Ⅰ）試判斷翻折后直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）求二面角B-AC-D的大��；
（Ⅲ）若異面直線AB與DE所成角的余弦值為
2
4
，求k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

11、下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)是（　�。�
①經(jīng)過(guò)空間一點(diǎn)一定可作一平面與兩異面直線都平行；
②已知平面α、β，直線a、b，若α∩β=a，b⊥a，則b⊥α；
③有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面的四棱柱為直四棱柱；
④四個(gè)側(cè)面兩兩全等的四棱柱為直四棱柱；
⑤底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；
⑥底面是等邊三角形，∠APB=∠BPC=∠CPA，則三棱錐P-ABC是正三棱錐．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013屆新課標(biāo)高三配套第四次月考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

已知四棱錐P-ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則異面直

線與所成角的余弦值為（    ）

 A.        B.        C.       D.

 

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