【題目】已知函數(shù).

（1）當時，判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若恒成立，求的取值范圍；

（3）已知，證明.

【答案】（1）當時，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；

（2）；

（3）證明過程見解析

【解析】

（1）先求函數(shù)的定義域，再求導數(shù)，分別令和即可求出單調(diào)性；（2）分離變量得恒成立，轉(zhuǎn)化為求的最大值，然后求導數(shù)判斷的單調(diào)性即可求出的最大值，從而求得結(jié)果；（3）對兩邊取對數(shù)，化簡變形可得，由（2）可知在上單調(diào)遞減，結(jié)合條件即可證明.

由題意可知，函數(shù)的定義域為：且.

（1）當時，，

若，則 ； 若，則 ，

所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.

（2）若恒成立，則恒成立，

又因為，所以分離變量得恒成立，

設(shè)，則，所以，

當時，；當時，，

即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

當時，函數(shù)取最大值，，所以.

（3）欲證，兩邊取對數(shù)，只需證明，

只需證明，即只需證明，

由（2）可知在上單調(diào)遞減，且，

所以，命題得證.

練習冊系列答案
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（1）若將購買金額不低于80元的游客稱為“優(yōu)質(zhì)客戶”，現(xiàn)用分層抽樣的方法從樣本的“優(yōu)質(zhì)客戶”中抽取5人，求這5人中購買金額不低于100元的人數(shù)；

（2）從（1）中的5人中隨機抽取2人作為幸運客戶免費參加鄉(xiāng)村游項目，請列出所有的基本事件，并求2人中至少有1人購買金額不低于100元的概率．

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