Question

16．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，其導函數(shù)為f′（x），且x＜0時，2f（x）+xf′（x）＜0恒成立，則a=f（1），b=2f（$\sqrt{2}$），c=4f（2）的大小關(guān)系為（　　）

• A． c＜b＜a
• B． c＜a＜b
• C． a＜c＜b
• D． a＜b＜c

Answer 1

分析 構(gòu)造g（x）=x²f（x），進一步利用函數(shù)的導數(shù)求出函數(shù)g（x）的單調(diào)性，再利用函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)在對稱區(qū)間里的單調(diào)性，最后求出函數(shù)大小關(guān)系．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=x²f（x）
則g′（x）=2xf（x）+x²f′（x）=x（2f（x）+xf′（x））
當x＜0時，2f（x）+xf′（x）＜0恒成立，
∴函數(shù)g′（x）＞0，
即當x＜0時，函數(shù)g（x）為單調(diào)遞增函數(shù)．
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴函數(shù)g（x）=x²f（x）為奇函數(shù)．
即在x＞0時，函數(shù)g（x）為單調(diào)遞增函數(shù)．
則g（1）=f（1）=a，g（$\sqrt{2}$）=2f（$\sqrt{2}$）=b，g（2）=4f（2）=c，
則g（2）＞g（$\sqrt{2}$）＞g（1），
即a＜b＜c．
故選：D

點評 本題主要考查函數(shù)值的大小比較，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)的導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．．