Question

已知A（-

3

2

，0），B（

3

2

，0）為平面內(nèi)兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|+|PB|=2．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)直線l：y=k（x+

3

2

）（k＞0）與（1）中點(diǎn)P的軌跡交于M，N兩點(diǎn)，求△BMN的最大面積及此時(shí)的直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)P到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離和等于定值，可得P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，結(jié)合橢圓的基本概念即可求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）由直線MN方程與橢圓方程聯(lián)解，消去x得（1+4k²）y²-

3

ky-

1

4

k²=0．設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用根與系數(shù)的關(guān)系算出|y₁-y₂|²=

4k 4+4k2

(1+4k2)2

，再用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)算出|y₁-y₂|的最大值為

3

3

，相應(yīng)的k=±

2

2

．最后根據(jù)△BMN的面積S=

1

2

•|AB|•|y₁-y₂|，即可得出△BMN的最大面積為

1

2

，此時(shí)的直線l方程為 y=±（

2

2

x

6

4

）．

解答：解：（1）∵|PA|+|PB|=2，|AB|=

3

＜2
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，
設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
可得a=1，c=

3

2

，b=

a2-c2

=

1

4

，
因此，橢圓方程為x2+

y2

1 4

=1，可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x²+4y²=1；
（2）由

y=k(x+ 3 2 ) x2+4y2=1

消去x，得（1+4k²）y²-

3

ky-

1

4

k²=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），可得

y1+y2= 3 k 1+4k2 y1y2= - k2 4 1+4k2

，
∴|y₁-y₂|²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=

4k 4+4k2

(1+4k2)2

，
令1+4k²=t，則|y₁-y₂|²=-

3

4t2

+

1

2t

+

1

4

當(dāng)

1

t

=

1

3

，即t=3時(shí)|y₁-y₂|²的最大值為

1

3

，
可得|y₁-y₂|的最大值為

3

3

，相應(yīng)的k=±

2

2

∵△BMN的面積S=

1

2

•|AB|•|y₁-y₂|
∴當(dāng)且僅當(dāng)k=±

2

2

時(shí)，△BMN的面積S=

1

2

×

3

×

3

3

=

1

2

，達(dá)到最大值
綜上所述，△BMN的最大面積為

1

2

，此時(shí)的直線方程為y=±

2

2

（x+

3

2

），即y=±（

2

2

x

6

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題給出動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程并求三角形面積的最大值．著重考查了橢圓的定義與概念、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和函數(shù)的最值討論等知識(shí)，考查了轉(zhuǎn)化化歸與數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，屬于中檔題．