Question

如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD和側(cè)面BCC₁B₁都是矩形，E是CD的中點(diǎn)，D₁E⊥CD，AB=2BC=2．
（Ⅰ）求證：BC⊥D₁E；
（Ⅱ）求證：B₁C∥平面BED₁；
（Ⅲ）若平面BCC₁B₁與平面BED₁所成的銳二面角的大小為

π

3

，求線段D₁E的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出BC⊥CD，BC⊥CC₁，從而得到BC⊥平面DCC₁D₁，由此能夠證明BC⊥D₁E．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出四邊形D₁DBB₁是平行四邊形．連接DB₁交D₁B于點(diǎn)F，連接EF，則F為DB₁的中點(diǎn)．由此利用三角形中位線定理能證明B₁C∥平面BED₁．
（Ⅲ）設(shè)G為AB的中點(diǎn)，以E為原點(diǎn)，EG，EC，ED₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出線段D₁E的長(zhǎng)度．

解答： （Ⅰ）證明：∵底面ABCD和側(cè)面BCC₁B₁是矩形，
∴BC⊥CD，BC⊥CC₁，
又∵CD∩CC₁=C，
∴BC⊥平面DCC₁D₁，…（2分）
∵D₁E?平面DCC₁D₁，∴BC⊥D₁E．…（4分）
（Ⅱ）證明：∵BB₁∥DD₁，BB₁=DD₁，
∴四邊形D₁DBB₁是平行四邊形．
連接DB₁交D₁B于點(diǎn)F，連接EF，則F為DB₁的中點(diǎn)．
在△B₁CD中，∵DE=CE，DF=B₁F，
∴EF∥B₁C．…（6分）
又∵B₁C?平面BED₁，EF?平面BED₁，
∴B₁C∥平面BED₁．…（8分）
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知BC⊥D₁E，
又∵D₁E⊥CD，BC∩CD=C，
∴D₁E⊥平面ABCD．…（9分）
設(shè)G為AB的中點(diǎn)，以E為原點(diǎn)，
EG，EC，ED₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)D₁E=a，則E（0，0，0），B（1，1，0），D₁（0，0，a），
C（0，1，0），B₁（1，2，a），G（1，0，0）．
設(shè)平面BED₁法向量為

n

=（x，y，z），
因?yàn)?nbsp;

EB

=(1，1，0)，

ED1

=(0，0，a)，
由

n • EB =0 n • ED1 =0

，得

x+y=0 z=0.

令x=1，得

n

=（1，-1，0）．…（11分）
設(shè)平面BCC₁B₁法向量為

m

=（x₁，y₁，z₁），
∵

CB

=(1，0，0)，

CB1

=(1，1，a)，
∴由

m • CB =0 m • CB1 =0

，得

x1=0 x1+y1+az1=0.

令z₁=1，得

m

=（0，-a，1）．…（12分）
由平面BCC₁B₁與平面BED₁所成的銳二面角的大小為

π

3

，
得 |cos＜m，n＞|=

|m•n|

|m||n|

=

a

2 • a2+1

=cos

π

3

，…（13分）
解得a=1．
∴線段D₁E的長(zhǎng)度是1．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面平行的證明，考查線段長(zhǎng)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．