Question

已知點(diǎn)P（1，

3

）是曲線f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0|φ|＜

π

2

）的一個(gè)最高點(diǎn)，且f（9-x）=f（9+x），曲線區(qū)間（1，9）內(nèi)與x軸有唯一一個(gè)交點(diǎn)，求這個(gè)函數(shù)的解析式，并作出一個(gè)周期的圖象．

Answer 1

分析：根據(jù)點(diǎn)P（1，

3

）是曲線f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0|φ|＜

π

2

）的一個(gè)最高點(diǎn)，可知A=

3

，由f（9-x）=f（9+x）得函數(shù)的一條對(duì)稱軸方程為x=9，根據(jù)曲線區(qū)間（1，9）內(nèi)與x軸有唯一一個(gè)交點(diǎn)，可知函數(shù)的周期，因此可求得函數(shù)的解析式；利用五點(diǎn)法列表，描點(diǎn)，即可畫出函數(shù)的圖象．

解答：解：∵點(diǎn)P（1，

3

）是曲線f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0|φ|＜

π

2

）的一個(gè)最高點(diǎn)，
∴A=

3

，
∵f（9-x）=f（9+x），曲線區(qū)間（1，9）內(nèi)與x軸有唯一一個(gè)交點(diǎn)，
∴x=9是曲線的一條對(duì)稱軸，且

T

2

=8
∴T=16，
而T=

2π

ω

，ω=

π

8

，

π

8

+φ=

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴φ=

3π

8

+2kπ，k∈Z，∵|φ|＜

π

2

，
φ=

3π

8

∴f（x）=

3

sin（

π

8

x+

3π

8

），
其圖象如圖所示：

點(diǎn)評(píng)：本題考查y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法以及五點(diǎn)法作圖，根據(jù)題意求出周期是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力和作圖能力，屬中檔題．