Question

如圖，在三棱錐中，平面，.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）設(shè)分別為的中點，點為△內(nèi)一點，且滿足，

求證：∥面；

（Ⅲ）若，，求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因為AC和PB是異面直線，所以可以采用線面垂直得線線垂直的方法證，即先平面。要證平面需證面內(nèi)的兩條相交線PA和AB都和AC垂直。為已知條件證PA和AC垂直依據(jù)是線面垂直得線線垂直。（Ⅱ）（法一空間向量法）由題意可以點A為坐標(biāo)原點，以AC,AB,AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系。分別設(shè)出AB,AC,AP的三邊長，故可得點A,點B點C點P的坐標(biāo)，因為點D為PA中點，即可得到點D的坐標(biāo)，根據(jù)得到點G的坐標(biāo)，即可求出坐標(biāo)和平面PBC的一個法向量的坐標(biāo)，用向量數(shù)量積公式可求得，即，因為平面，所以∥平面．（法二一般方法）由可知，G為三角形重心。設(shè)AB中點為E，所以G在OE上，根據(jù)中位線可得∥，連結(jié)并延長交于，連。因為∥，且E為AB中點，所以G為AF中點，所以∥，內(nèi)線外線平行所以得線面平行。問題得證。（Ⅲ）采用空間向量法，由（Ⅰ）可知是面PAB的一個法向量。先求兩個法向量所成的角。兩個法向量所成的角與二面角相等或互補。由觀察可知此二面角為銳二面角，所以余弦值為正值。

試題解析：證明：（Ⅰ）因為平面，平面，

所以．

又因為，且，

所以平面．

又因為平面，

所以． 4分

（Ⅱ）

解法1:因為平面，所以，．又因為，

所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，，，

則，，，

，．

又因為，

所以．

于是，

，．

設(shè)平面的一個法向量

，則有

即

不妨設(shè)，則有，所以．

因為，

所以．又因為平面，

所以∥平面． 9分

解法2：

取中點，連，則.

由已知可得,

則點在上.連結(jié)并延長交于，連.

因為分別為的中點，

所以∥,即為的中點.

又因為為線段的中點，

所以∥.

又平面,平面,

所以∥平面． 9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面的一個法向量．

又因為面，所以面的一個法向量是．

又，

由圖可知，二面角為銳角，

所以二面角的余弦值為． 14分

考點：1空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系；2二面角.