Question

甲、乙兩人進行一項游戲比賽，比賽規(guī)則如下：甲從區(qū)間[0，1]上隨機等可能地抽取一個實數(shù)記為b，乙從區(qū)間[0，1]上隨機等可能地抽取一個實數(shù)記為c（b，c可以相等），若關(guān)于x的方程x²+2bx+c=0有實根，則甲獲勝，否則乙獲勝．
（Ⅰ）求一場比賽中甲獲勝的概率；
（Ⅱ）設(shè)n場比賽中，甲恰好獲勝k場的概率為P_n^k（k≤n，k∈N，n∈N^*），求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知本題是一個幾何概型，試驗發(fā)生包含的事件是邊長為1的正方形的面積，滿足條件的事件是方程x²+2bx+c=0有實根的充要條件，寫出變量滿足的關(guān)系式，用積分求出面積，做比值得到結(jié)果．
（2）由題意知本題符合獨立重復(fù)試驗的條件，根據(jù)獨立重復(fù)試驗的公式寫出概率，表示出和式，問題轉(zhuǎn)換為二項式定理的應(yīng)用，根據(jù)組合數(shù)把式子變形，提出公因式，逆用二項式定理，得到結(jié)果．
解答：解：（1）由題意知本題是一個幾何概型，
試驗發(fā)生包含的事件是邊長為1的正方形的面積，
滿足條件的事件是方程x²+2bx+c=0有實根的充要條件是△=4b²-4c≥0，即b²≥c
由題意知，每場比賽中甲獲勝的概率為=b³|¹=
（2）∵由題意知本題符合獨立重復(fù)檢驗的條件，
∴n場比賽中甲恰好獲勝k場的概率為P_n^k=
∴=++…++…+
又==C_n-1^r-1，
∴=++…+
=[++…]
==
點評：這是一個中檔題，培養(yǎng)運用從具體到抽象、從特殊到一般的分析問題的能力，充分體現(xiàn)數(shù)學的化歸思想．啟發(fā)誘導的同時，訓練了學生觀察和概括歸納的能力．