Question

已知向量

m

=(2cosωx，1)，

n

=(

3

sinωx-cosωx，a)，其中（x∈R，ω＞0），函數(shù)f(x)=

m

•

n

的最小正周期為π，最大值為3．
（I）求ω和常數(shù)a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）利用數(shù)量積化簡(jiǎn)函數(shù)，通過(guò)二倍角、兩角和的正弦函數(shù)化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，利用周期求出ω，通過(guò)最大值求出a的值；
（Ⅱ）結(jié)合（I）得到函數(shù)的表達(dá)式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（I）f(x)=

m

•

n

=2

3

sinωxcosωx-2cos2ωx+a（1分）
=

3

sin2ωx-cos2ωx-1+a=2sin(2ωx-

π

6

)+a-1（3分）
由T=

2π

2ω

=π，得ω=1．（4分）
又當(dāng)sin(2ωx-

π

6

)=1時(shí)y_max=2+a-1=3，得a=2（6分）
（Ⅱ）由（I）知f(x)=2sin(2x-

π

6

)+1當(dāng)2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)（8分）
即kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（10分）
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，（k∈Z）（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，函數(shù)的周期、最值、單調(diào)增區(qū)間，考查計(jì)算能力，�？碱}型．