Question

已知函數(shù)f（x）=x⁴+bx³+cx²+dx+e（x∈R）在x=0和x=1處取得極值．
（1）求d的值及b，c的關(guān)系式（用c表示b），并指出c的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在x=0處取得極大值
①判斷c的取值范圍；
②若此時(shí)函數(shù)f（x）在x=1時(shí)取得最小值，求c的取值范圍．

Answer 1

解：（1）求導(dǎo)數(shù)，得f'（x）=2x³+3bx²+2cx+d
∵函數(shù)f（x）在x=0和x=1處取得極值，
∴可得d=0，b=-（c+1）
因此，f'（x）=2x³-2（c+1）x²+2cx=2x（x-1）（x-c）
∴當(dāng)且僅當(dāng)c≠0且c≠1時(shí)，函數(shù)在x=0和x=1處取得極值．
由此可得c的取值范圍是{x|c≠0且c≠1}
（2）①∵函數(shù)f（x）在x=0處取得極大值
∴f（x）在x=0的左側(cè)為增函數(shù)，在x=0的右側(cè)為減函數(shù)，
因此，f'（x）在x=0的左側(cè)大于0，在x=0的右側(cè)小于于0，
又∵f'（x）=2x（x-1）（x-c），
∴f'（x）在（0，1）上為負(fù)數(shù)，得c＜0且f'（x）在（c，0）上為正數(shù)
綜上所述，得c的取值范圍是（∞，0）
②因?yàn)閏＜0，得
當(dāng)x＜c或0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)c＜x＜0或x＞1時(shí)，f'（x）＞0
∴函數(shù)f（x）在（-∞，c）和（0，1）上為減函數(shù)；在（c，0）和（1，+∞）上為增函數(shù)
因此，函數(shù)的極小值為f（c）和f（1），并且它們中的較小值就是函數(shù)f（x）的最小值
∵函數(shù)f（x）在x=1時(shí)取得最小值，
∴f（c）≥f（1），即c⁴-（c+1）c³+c³+e≥-（c+1）+1+e
整理，得c⁴-2c³+2c-1≤0，即（c-1）³（c+1）≤0
解這個(gè)不等式，得-1≤c≤1
∵c的取值范圍是（∞，0），
∴c∈[-1，0），即為所求c的取值范圍．
分析：（1）函數(shù)f（x）在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于0，由此建立關(guān)于b、c、d的方程組并解之，可得d的值和b，c的關(guān)系式，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)互不相等，可得實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（2）①函數(shù)f（x）在x=0處取得極大值，說明f'（x）在x=0的左側(cè)大于0，在x=0的右側(cè)小于于0，從而得到x=c這個(gè)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)必須位于x=0的左側(cè)，由此即可得到c的取值范圍；
②根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷f（x）的單調(diào)性，可得函數(shù)的極小值為f（c）和f（1），且它們中的較小值就是函數(shù)f（x）的最小值，由此得f（c）≥f（1），建立關(guān)于c的不等式，整理得（c-1）³（c+1）≤0，再結(jié)合c為負(fù)數(shù)，可得c的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題給出多項(xiàng)式函數(shù)，在已知它的兩個(gè)極值點(diǎn)的情況下求參數(shù)之間的關(guān)系式，并且討論參數(shù)的取值范圍，著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和不等式的解法等知識(shí)，屬于中檔題．