Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+ax-2a²+3a）e^x（x∈R），若a∈R，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

f′（x）=[x²+（a+2）x-2a²+4a]e^x
令f′（x）=0  解得x=-2a  或x=a-2以下分三種情況討論．
（1）若a＞

2

3

，則-2a＜a-2．當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化如下表：
-


所以f（x）在（-∞，-2a），（a-2，+∞）內(nèi)是增函數(shù)在（-a，a-2）內(nèi)是減函數(shù)
函數(shù)f（x）在x=2處取得極大值f（-2a），且f（-2a）=3ae^-2a
函數(shù)f（x）在x=a-2處取得極小值f（a-2），且f（a-2）=（4-3a）e^a-2
（2）若a＜

2

3

則-2a＞a-2
當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化如下表：



函數(shù)f（x）在x=2處取得極小值f（-2a），且f（-2a）=3ae^-2a
函數(shù)f（x）在x=a-2處取得極大值f（a-2），且f（a-2）=（4-3a）e^a-2
（3）若a=

2

3

則-2a=a-2函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，此時函數(shù)無極值