Question

已知圓C：（x+4）²+y²=4，圓D的圓心D在y 軸上且與圓C外切，圓D與y 軸交于A、B兩點(diǎn)，定點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，0）．
（1）若點(diǎn)D（0，3），求∠APB的正切值；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求∠APB的最大值；
（3）在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，當(dāng)圓D在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠AQB是定值？如果存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中圓C：（x+4）²+y²=4，點(diǎn)D（0，3），我們易求出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出圓D的半徑，求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)后，可由tan∠APB=k_BP得到結(jié)果．
（2）設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，a），圓D半徑為r，我們可以求出對(duì)應(yīng)的圓D的方程和A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出∠APB正切的表達(dá)式（含參數(shù)r），求出其最值后，即可根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性，求出∠APB的最大值；
（3）假設(shè)存在點(diǎn)Q（b，0），根據(jù)∠AQB是定值，我們構(gòu)造關(guān)于b的方程，若方程有解，則存在這樣的點(diǎn)，若方程無(wú)實(shí)根，則不存在這樣的點(diǎn)．
解答：解：（1）∵|CD|=5，
∴圓D的半徑r=5-2=3，此時(shí)A、B坐標(biāo)分別為A（0，0）、B（0，6）
∴tan∠APB=k_BP=2（3分）
（2）設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，a），圓D半徑為r，則（r+2）²=16+a²，A、B的坐標(biāo)分別為（0，a-r），（0，a+r）
∴，
∴==
∵|r+2|²≥16，
∴r≥2，
∴8r-6≥10，
∴
∴．（8分）
（3）假設(shè)存在點(diǎn)Q（b，0），由，，得
∵a²=（r+2）²-16，
∴
欲使∠AQB的大小與r無(wú)關(guān)，則當(dāng)且僅當(dāng)b²=12，即，
此時(shí)有，即得∠AQB=60°為定值，
故存在或，使∠AQB為定值60°．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線和圓的方程的應(yīng)用，其中根據(jù)已知中圓C：（x+4）²+y²=4，圓D的圓心D在y 軸上且與圓C外切，圓D與y 軸交于A、B兩點(diǎn)，確定圓D的方程，進(jìn)而求出A，B的方程是解答本題的關(guān)鍵．