Question

（湖南卷理19）在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以?xún)?nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A.某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東且與點(diǎn)A相距40海里的位置B，經(jīng)過(guò)40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東+(其中sin=，)且與點(diǎn)A相距10海里的位置C.

（I）求該船的行駛速度（單位：海里/小時(shí)）;

（II）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說(shuō)明理由.

Answer 1

解:  （I）如圖，AB=40，AC=10，

由于,所以cos=

由余弦定理得BC=

所以船的行駛速度為（海里/小時(shí)）.

（II）解法一   如圖所示，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是B（x₁，y₂）, C（x₁，y₂）,BC與x軸的交點(diǎn)為D.

由題設(shè)有，x₁=y₁= AB=40,

x₂=ACcos,

y₂=ACsin

所以過(guò)點(diǎn)B、C的直線l的斜率k=,直線l的方程為y=2x-40.

又點(diǎn)E（0，-55）到直線l的距離d=

所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.

解法二:  如圖所示，設(shè)直線AE與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q.在△ABC中，由余弦定理得，

==.

從而

在中，由正弦定理得，

AQ=

由于AE=55>40=AQ，所以點(diǎn)Q位于點(diǎn)A和點(diǎn)E之間，且QE=AE-AQ=15.

過(guò)點(diǎn)E作EP BC于點(diǎn)P，則EP為點(diǎn)E到直線BC的距離.

在Rt中，PE=QE·sin

=所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.