Question

如果函數(shù)y=a^x（a^x-3a²-1）（a＞0且a≠1）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、(0，

  2

  3

  ]
• B、[

  3

  3

  ，1)
• C、(0，

  3

  ]
• D、[

  3

  2

  ，+∞)

Answer 1

分析：將函數(shù)y=a^x（a^x-3a²-1）轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來考慮即可得到答案．

解答：解：函數(shù)y=a^x（a^x-3a²-1）（a＞0且a≠1）可以看作是關(guān)于a^x的二次函數(shù)，
若a＞1，則y=a^x是增函數(shù)，原函數(shù)在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)，
則要求對(duì)稱軸

3a2+1

2

≤1，矛盾；
若0＜a＜1，則y=a^x是減函數(shù)，原函數(shù)在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)，
則要求當(dāng)t=a^x（0＜t＜1）時(shí)，
y=t²-（3a²+1）t在t∈（0，1）上為減函數(shù)，
即對(duì)稱軸

3a2+1

2

≥1，
∴a2≥

1

3

，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[

3

3

，1)，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查將復(fù)雜函數(shù)式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題．注意轉(zhuǎn)化后函數(shù)定義域的轉(zhuǎn)變．