Question

（2004•上海模擬）已知拋物線y=8x²+10x+1
（1）試判斷拋物線與x軸交點情況
（2）求此拋物線上一點A（-1，-1）關于對稱軸的對稱點B的坐標
（3）是否存在一次函數與拋物線只交于B點？若存在，求出符合條件的一次函數的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）令拋物線的y=0，可得出一個關于x的一元二次方程，如果△＞0，則拋物線與x軸有兩個不同的交點；如果△=0，與x軸有一個交點；如果△＜0，與x軸無交點．
（2）根據拋物線的解析式可得出拋物線的對稱軸為x=-

5

8

，因此B點的坐標為（-

1

4

，-1）
（3）應該有兩條：①過B點且與y軸平行的直線，即x=-

1

4

；②設出一次函數的解析式，將B點坐標代入一次函數中，使一次函數的待定系數只剩一個，然后聯立拋物線的解析式，可得出一個關于x的一元二次方程，由于兩函數只有一個交點，因此方程的△=0，由此可求出一次函數的待定系數，即可得出一次函數的解析式．

解答：解：（1）令y=0，得8x²+10x+1=0，△=100-4×8＞0；
因此拋物線與x軸有兩個不同的交點．
（2）易知：拋物線的對稱軸為x=-

5

8

，∴B（-

1

4

，-1）
（3）假設存在這樣的一次函數，設一次函數的解析式為y=kx+b，已知直線過B點，則有：
-

1

4

k+b=-1，b=

k

4

-1，
∴y=kx+

k

4

-1．
依題意有：

y=8x2+10x+1 y=kx+ k 4 -1

，
則有8x²+10x+1=kx+

k

4

-1，
即8x²+（10-k）x+

8-k

4

=0；
由于兩函數只有一個交點，
因此△=（10-k）²-8（8-k）=0，
即（k-6）²=0
∴k=6
∴一次函數的解析式為y=6x+

1

2

．

點評：本題以二次函數為載體，主要考查了一元二次方程根與系數的關系、函數圖象交點等知識點，綜合性強．