Question

符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[π]=3，[-1.08]=-2，定義函數(shù){x}=x-[x]，那么下列命題中正確的序號是

（2）、（3）

．
（1）函數(shù){x}的定義域為R，值域為[0，1]；   
（2）方程{x}=

1

2

，有無數(shù)解；
（3）函數(shù){x}是非奇非偶函數(shù)；             
（4）函數(shù){x}是增函數(shù)．

Answer 1

分析：要使解析式有意義，得出函數(shù){x}的定義域為R，由周期函數(shù)的定義證明此函數(shù)為周期函數(shù)，使求出一個周期的上的值域，即為整個函數(shù)的值域，周期函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，根據(jù)奇偶性的定義判定奇偶性即可．

解答：解：∵函數(shù){x}的定義域為R，
而{-x}=-x-[-x]≠-{x}，且{-x}=-x-[-x]≠{x}，
∴函數(shù){x}是非奇非偶函數(shù)；∴（3）是正確的，
又∵{x+1}=（x+1）-[x+1]=x-[x]={x}，
∴函數(shù){x}=x-[x]是周期為1的函數(shù)，
當(dāng)0≤x＜1時，{x}=x-[x]=x-0=x，∴函數(shù){x}的值域為[0，1），∴（1）錯誤，
當(dāng)x=

1

2

時，{x}=

1

2

，又∵函數(shù){x}=x-[x]是周期為1的函數(shù)，∴x=

1

2

+k時（k∈Z），{x}=

1

2

，∴（2）是正確的，
∵函數(shù){x}是周期為1的函數(shù)，∴函數(shù){x}不是單調(diào)函數(shù)，∴（4）錯誤
故答案為：（2）（3）

點評：本題主要考查了自定義一個函數(shù)，求函數(shù)的性質(zhì)，一般研究函數(shù)從圖象入手，要找出準(zhǔn)確的切入點，x∈R時，[x]∈Z，x-[x]∈[0，1），屬于中檔題．