Question

已知函數(shù)y=Asin(ωx+?)(A＞0，ω＞0，|?|＜

π

2

)圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)為P(2，

2

)，由這個(gè)最高點(diǎn)到相鄰最低點(diǎn)間的曲線與x軸相交于點(diǎn)Q（6，0）．
（1）求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求這個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）首先由曲線y=Asin（ωx+φ）的最高點(diǎn)求A，再由最高點(diǎn)與相鄰的平衡點(diǎn)求最小正周期T，進(jìn)一步求得ω，最后通過特殊點(diǎn)求φ，則問題解決．
（2）通過（1）的函數(shù)解析式，借助正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答：解：（1）由曲線y=Asin（ωx+φ）的一個(gè)最高點(diǎn)是（2，

2

），得A=

2

，
又最高點(diǎn)（2，

2

）到相鄰的最低點(diǎn)間，曲線與x軸交于點(diǎn)（6，0），
則

T

4

=6-2=4，即T=16，所以ω=

2π

T

=

π

8

．
此時(shí)y=

2

sin（

π

8

x+φ），
將x=2，y=

2

代入得

2

=

2

sin（

π

8

×2+φ），|?|＜

π

2

，

π

4

+φ=

π

2

，
∴φ=

π

4

，
所以這條曲線的解析式為y=

2

sin(

π

8

x+

π

4

)．
（2）因?yàn)?span id="igjvhzm" class="MathJye">

π

8

x+

π

4

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，解得x∈[16k-6，2+16k]，k∈Z．
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[-6+16k，2+16k]，k∈Z，
因?yàn)?span id="ime4dkm" class="MathJye">

π

8

x+

π

4

∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，解得x∈[2+16k，10+16k]，k∈Z，
所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為：[2+16k，10+16k]，k∈Z，

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由曲線y=Asin（ωx+φ）的部分信息求函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的解析式的方法．函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，考查計(jì)算能力．