Question

2．已知正方體OABC-O₁A₁B₁C₁的棱長(zhǎng)為2，對(duì)角線O₁B上有一點(diǎn)P，棱B₁C₁上有一點(diǎn)Q．
（1）當(dāng)Q為B₁C₁的中點(diǎn)，點(diǎn)P在對(duì)角線O₁B上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試求|PQ|的最小值．
（2）當(dāng)Q在B₁C₁上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在對(duì)角線O₁B上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OC為y軸，OO₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，Q（1，2，2），設(shè)P（x，x，2-x），由此能求出|PQ|的最小值．
（2）設(shè)P（x₁，x₁，2-x₁），Q（x₂，2，2），由此能求出|PQ|的最小值．

解答 解：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OC為y軸，OO₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵Q為B₁C₁的中點(diǎn)，∴Q（1，2，2），
P在xOy坐標(biāo)平面上的射影落在線段OB上，在yOz坐標(biāo)平面上的射影落在線段O₁C上，
∴P的坐標(biāo)（x，y，z）滿足$\left\{\begin{array}{l}{x=y}\\{y+z=2}\end{array}\right.$，∴P（x，x，2-x），
∴|PQ|=$\sqrt{（x-1）^{2}+（x-2）^{2}+（-x）^{2}}$
=$\sqrt{3{x}^{2}-6x+5}$
=$\sqrt{3（x-1）^{2}+2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1，即P（1，1，1）時(shí)，|PQ|有最小值$\sqrt{2}$．
（2）由（1）和題意，設(shè)P（x₁，x₁，2-x₁），Q（x₂，2，2），
則|PQ|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{x}_{1}-2）^{2}+（-{x}_{1}）^{2}}$
=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+2（{x}_{1}-1）^{2}+2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}={x}_{2}}\\{{x}_{2}=1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{x}_{2}=1}\end{array}\right.$時(shí)，|PQ|有最小值，|PQ|的最小值為$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．