數(shù)列{an}是以a為首項，q為公比的等比數(shù)列．令bn=1-a1-a2-…-an，cn=2-b1-b2-…-bn，n∈N*．
（1）試用a、q表示bn和cn；
（2）若a＜0，q＞0且q≠1，試比較cn與cn+1的大��；
（3）是否存在實數(shù)對（a，q），其中q≠1，使{cn}成等比數(shù)列．若存在，求出實數(shù)對（a，q）和{cn}；若不存在，請說明理由．
【答案】分析：（1）分兩種情況考慮，當q=1時，得到數(shù)列{an}每一項都為a，代入bn=1-a1-a2-…-an中，得到bn，列舉出bn的各項，代入cn=2-b1-b2-…-bn中，利用等差數(shù)列的前n項和公式化簡后，得到cn；當q不等于1時，利用等比數(shù)列的前n項和公式表示出數(shù)列{an}的前n項和，代入bn=1-a1-a2-…-an中，得到bn，列舉出bn的各項，代入cn=2-b1-b2-…-bn中，利用等比數(shù)列的前n項和公式化簡后，得到cn，綜上，分別寫出bn和cn的通項即可；
（2）根據(jù)q不等于1，由（1）求出的通項找出cn與cn+1，利用做差法比較大小，方法是表示出cn+1-cn，化簡后根據(jù)已知的條件，判斷其差的正負，即可得到cn與cn+1的大小關(guān)系；
（3）存在．根據(jù)q不等于1和0，由（1）找出數(shù)列{cn}的通項，因為{cn}成等比數(shù)列，所以得到此數(shù)列為常數(shù)列或常數(shù)項和n項的系數(shù)為0，列出關(guān)于a與q的方程，求出方程的解即可得到a與q的值，經(jīng)過檢驗得到滿足題意的a與q的值．
解答：解：（1）當q=1時，bn=1-（a1+a2+…+an）=1-na，，
當q≠1時，
=
=
所以，
cn=；（4分）
（2）因為，
所以
當q＞1時，1-q＜0，1-qn+1＜0；
當0＜q＜1時，1-q＞0，1-qn+1＞0，
所以當a＜0，q＞0且q≠1時，cn+1-cn＜0，即cn+1＜cn；（5分）
（3）因為q≠1，q≠0，
所以，
因為{cn}為等比數(shù)列，則或，
所以或（舍去），所以．（5分）
點評：此題考查學生靈活運用等差、等比數(shù)列的前n項和公式化簡求值，掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，會利用做差法比較兩式子的大小，是一道中檔題．學生在利用等比數(shù)列的前n項和公式時注意公比q不為1．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

數(shù)列{an}是以a為首項，q為公比的等比數(shù)列．令bn=1-a1-a2-…-an，cn=2-b1-b2-…-bn，n∈N*．
（1）試用a、q表示bn和cn；
（2）若a＜0，q＞0且q≠1，試比較cn與cn+1的大��；
（3）是否存在實數(shù)對（a，q），其中q≠1，使{cn}成等比數(shù)列．若存在，求出實數(shù)對（a，q）和{cn}；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

數(shù)列An的前m項為A1，A2，…，Am，若對任意正整數(shù)n，有A（n+m）=An•q（其中q為常數(shù)，q不等于0，1），則稱數(shù)列An是以m為周期，以q為周期公比的似周期性等比數(shù)列．已知似周期性等比數(shù)列Bn的前7項為1，1，1，1，1，1，2，周期為7，周期公比為3，則數(shù)列Bn前7k+1項的和
 
．（k為正整數(shù)）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}是以a為首項，t為公比的等比數(shù)列，令bn=1+a1+a2+…+an，cn=2+b1+b2+…+bn，n∈N
（1）試用a，t表示bn和cn
（2）若a＞0，t＞0且t≠1，試比較cn與cn+1（n∈N）的大小
（3）是否存在實數(shù)對（a，t），其中t≠1，使得{cn}成等比數(shù)列，若存在，求出實數(shù)對（a，t）和{cn}；若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若對于任意的n∈N*,都有Sn=2an-3n,

(1)求數(shù)列{an}的首項與遞推關(guān)系式an+1=f(an);

(2)先閱讀下面定理，若數(shù)列{an}有遞推關(guān)系an+1=Aan+B,其中A、B為常數(shù)，且A≠1,B≠0,則數(shù)列{an-}是以A為公比的等比數(shù)列，請你在第（1）題的基礎(chǔ)上應(yīng)用本定理，求數(shù)列{an}的通項公式;

(3)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

(理)(1)證明：若數(shù)列{an}有遞推關(guān)系an+1=Aan+B，其中A、B為常數(shù)，且A≠1，B≠0，則數(shù)列{an}是以A為公比的等比數(shù)列；

(2)若數(shù)列{an}對于任意的n∈N*都有Sn=2an-n，令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn，求函數(shù)f(x)在x=1處的導數(shù)．

(文)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知對于任意的n∈N*，都有Sn=2an-n．

(1)求數(shù)列{an}的首項a1及遞推關(guān)系式：an+1=f(an)；

(2)先閱讀下面的定理：“若數(shù)列{an}有遞推關(guān)系an+1=Aan+B，其中A、B為常數(shù)，且A≠1，B≠0，

則數(shù)列{an}是以A為公比的等比數(shù)列”．請你在(1)的基礎(chǔ)上應(yīng)用本定理，求數(shù)列{an}的通項公式；

(3)求數(shù)列{an}的前n項和Sn．

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