【題目】如圖,在邊長為4的菱形ABCD中,∠DAB=60°.點(diǎn)E、F分別在邊CD、CB上,點(diǎn)E與點(diǎn)C、D不重合,EF⊥AC,EF∩AC=O.沿EF將△CEF翻折到△PEF的位置,使平面PEF⊥平面ABFED.
(1)求證:BD⊥平面POA;
(2)設(shè)點(diǎn)Q滿足 ,試探究:當(dāng)PB取得最小值時(shí),直線OQ與平面PBD所成角的大小是否一定大于 ?并說明理由.
【答案】
(1)證明:∵菱形ABCD的對角線互相垂直,∴BD⊥AC,∴BD⊥AO,
∵EF⊥AC,∴PO⊥EF.
∵平面PEF⊥平面ABFED,平面PEF∩平面ABFED=EF,且PO平面PEF,
∴PO⊥平面ABFED,
∵BD平面ABFED,∴PO⊥BD.
∵AO∩PO=O,∴BD⊥平面POA
(2)解:如圖,以O(shè)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz.
設(shè)AO∩BD=H.因?yàn)椤螪AB=60°,所以△BDC為等邊三角形,
故BD=4, .
又設(shè)PO=x,則 , ,
所以O(shè)(0,0,0),P(0,0,x), , ,
故 ,
所以 ,
當(dāng) 時(shí), .此時(shí)
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(a,0,c),由(1)知, ,則 , , , .
∴ , ,
∵ ,∴ .
∴ ,∴ .
設(shè)平面PBD的法向量為 ,則 .
∵ , ,∴
取x=1,解得:y=0,z=1,所以 .
設(shè)直線OQ與平面E所成的角θ,
∴ = .
又∵λ>0∴ .∵ ,∴ .
因此直線OQ與平面E所成的角大于 ,即結(jié)論成立.
【解析】(1)利用菱形ABCD的對角線互相垂直證明BD⊥AO,證明PO⊥平面ABFED,可得PO⊥BD,利用線面垂直的判定,可得 BD⊥平面POA;(2)建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz,設(shè)PO=x,求出 時(shí), ,此時(shí) ,進(jìn)一步求點(diǎn)Q的坐標(biāo),求出平面PBD的法向量 ,利用向量的夾角公式,可證直線OQ與平面E所成的角大于 .
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識,掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,以及對空間角的異面直線所成的角的理解,了解已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合A={a|一次函數(shù)y=(4a﹣1)x+b在R上是增函數(shù)},集合B= .
(1)求集合A,B;
(2)設(shè)集合 ,求函數(shù)f(x)=x﹣ 在A∩C上的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)命題p:實(shí)數(shù)x滿足(x﹣a)(x﹣3a)<0,其中a>0,命題q:實(shí)數(shù)x滿足 .
(1)若a=1,且p∧q為真,求實(shí)數(shù)x的取值范圍;
(2)若¬p是¬q的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】惠城某影院共有100個(gè)座位,票價(jià)不分等次.根據(jù)該影院的經(jīng)營經(jīng)驗(yàn),當(dāng)每張標(biāo)價(jià)不超過10元時(shí),票可全部售出;當(dāng)每張票價(jià)高于10元時(shí),每提高1元,將有3張票不能售出.為了獲得更好的收益,需給影院定一個(gè)合適的票價(jià),符合的基本條件是: ①為方便找零和算帳,票價(jià)定為1元的整數(shù)倍;
②影院放映一場電影的成本費(fèi)用支出為575元,票房收入必須高于成本支出.
用x(元)表示每張票價(jià),用y(元)表示該影院放映一場的凈收入(除去成本費(fèi)用支出后的收入).
(Ⅰ)把y表示成x的函數(shù),并求其定義域;
(Ⅱ)試問在符合基本條件的前提下,每張票價(jià)定為多少元時(shí),放映一場的凈收入最多?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方體ABCD﹣A1B1C1D1 , 則下列四個(gè)命題:
①P在直線BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí),三棱錐A﹣D1PC的體積不變;
②P在直線BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線AP與平面ACD1所成角的大小不變;
③P在直線BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí),二面角P﹣AD1﹣C的大小不變;
④M是平面A1B1C1D1上到點(diǎn)D和C1距離相等的點(diǎn),則M點(diǎn)的軌跡是過D1點(diǎn)的直線
其中真命題的個(gè)數(shù)是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】矩形ABCD中,AB=2,AD=1,在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)E,記“△AEB的最大邊是AB”為事件M,則P(M)等于( )
A.2﹣
B. ﹣1
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2,3),且點(diǎn)F (2,0)為其右焦點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程和離心率e;
(2)若平行于OA的直線l與橢圓有公共點(diǎn),求直線l在y軸上的截距的取值范圍.
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