Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，短軸長為2$\sqrt{2}$，右焦點(diǎn)為F．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線l過點(diǎn)M（3，t）且與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線PF交橢圓于另一個(gè)點(diǎn)Q．
①證明：當(dāng)直線OM與直線PQ的斜率k_OM，k_PQ均存在時(shí)，k_OMk_PQ為定值；
②求△PQM面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由b=$\sqrt{2}$，橢圓的離心率公式，即可求得a和c的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）①設(shè)直線方程，代入橢圓方程，由△=0，分別求得k_OM，k_PQ，即可求得k_OM•為定值；
②設(shè)直線方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理，弦長公式，求得S_△PQM=$\sqrt{6}$•$\sqrt{\frac{（{t}^{2}+1）^{3}}{（{t}^{2}+3）^{2}}}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得△PQM面積的最小值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦距為2c，由題意可得：2b=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，
由題意的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得：a²=6，則c²=a²-b²=4，
故橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ）①證明：由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程：y=kx+m，
由點(diǎn)M（3，t）在直線上，則t=3k+m，聯(lián)立直線與橢圓方程：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}-6=0}\end{array}\right.$，
可得：（1+3k²）x²+6kmx+3m²-6=0，
又直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，故△=0，即m²=6k²+2；
由韋達(dá)定理，可得P點(diǎn)坐標(biāo)（-$\frac{3km}{1+3{k}^{2}}$，$\frac{m}{1+3{k}^{2}}$），
由直線PQ過橢圓右焦點(diǎn)為F（2，0），則直線PQ的斜率k_PQ=k_PF=$\frac{m}{-3km-2-6{k}^{2}}$；
而直線OM的斜率，則k_OM=$\frac{t}{3}$=$\frac{3k+m}{3}$：
k_OM•k_PQ=$\frac{3k+m}{3}$•$\frac{m}{-3km-2-6{k}^{2}}$=$\frac{3km+{m}^{2}}{-3km-（2+6{k}^{2}）}$•$\frac{1}{3}$=$\frac{3km+{m}^{2}}{-（3km+{m}^{2}）}$•$\frac{1}{3}$=-$\frac{1}{3}$．
②由$\overrightarrow{FM}$=（1，t），$\overrightarrow{FP}$=（$\frac{-3km-2-6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，$\frac{m}{1+3{k}^{2}}$），則$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FP}$=$\frac{mt-3km-2-6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$=0，
即FM⊥PF，
∴三角形的面積S_△PQM=$\frac{1}{2}$丨PQ丨丨MF丨，
丨MF丨=$\sqrt{1+{t}^{2}}$，由直線FM的斜率為t，可得直線PQ的方程：x=-ty+2，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
與橢圓方程聯(lián)立可得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-ty+2}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3+t²）y²-4ty-2=0，
則y₁+y₂=$\frac{4t}{3+{t}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{2}{3+{t}^{2}}$，則丨PQ丨=$\sqrt{1+{t}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}（{t}^{2}+1）}{{t}^{2}+3}$，
則S_△PQM=$\sqrt{6}$•$\sqrt{\frac{（{t}^{2}+1）^{3}}{（{t}^{2}+3）^{2}}}$，令t²+3=m，（m＞0），則S_△PQM=$\sqrt{6}$•$\sqrt{（{m}^{\frac{1}{3}}-\frac{2}{{m}^{\frac{2}{3}}}）^{3}}$，
由函數(shù)的單調(diào)性可知：y=$\sqrt{（{m}^{\frac{1}{3}}-\frac{2}{{m}^{\frac{2}{3}}}）^{3}}$，單調(diào)遞增，
故S_△PQM=$\sqrt{6}$•$\sqrt{\frac{（{t}^{2}+1）^{3}}{（{t}^{2}+3）^{2}}}$≥$\frac{\sqrt{6}}{3}$，當(dāng)t=0時(shí)，△PQM面積的最小值$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴△PQM面積的最小值$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，弦長公式，考查圓錐曲線與函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．