Question

（2006•宣武區(qū)一模）設(shè)不等式組

x＞0 y＞0 y≤-nx+3n

所表示的平面區(qū)域?yàn)镈_n，記D_n內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為a_n（n∈N^*）．（整點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且Tn=

Sn

3•2n-1

，若對于一切的正整數(shù)n，總有T_n≤m，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由x＞0，y＞0，3n-nx＞0，可求得x=1，或x=2，則D_n內(nèi)的整點(diǎn)在直線x=1和x=2上，聯(lián)立可求得整點(diǎn)縱坐標(biāo)，進(jìn)而可得整點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）先求出S_n，從而可得T_n，通過作差可求得T_n的最大項(xiàng)，則m大于等于最大項(xiàng)；

解答：解：（I）由x＞0，y＞0，3n-nx＞0，得0＜x＜3，∴x=1或x=2，
∴D_n內(nèi)的整點(diǎn)在直線x=1和x=2上，記直線y=-nx+3n為l，l與直線x=1，x=2的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y₁、y₂，
則y₁=-n+3n=2n，y₂=-2n+3n=n，
∴an=3n(n∈N*)；
（II）∵Sn=3(1+2+3+…+n)=

3n(n+1)

2

，

∴Tn= n(n+1) 2n ∴Tn+1-Tn= (n+1)(n+2) 2n+1 - n(n+1) 2n = (n+1)(2-n) 2n+1

∴當(dāng)n≥3時(shí)，T_n＞T_n+1，且T1=1＜T2=T3=

3

2

，
∴T₂，T₃是數(shù)列{T_n}中的最大項(xiàng)，故m≥T2=

3

2

；

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查線性規(guī)劃的基本知識，考查學(xué)生分析解決問題的能力．