Question

已知點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn), 點(diǎn)在橢圓上上.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（Ⅱ）設(shè)直線若、均與橢圓相切,試探究在軸上是否存在定點(diǎn),點(diǎn)到的距離之積恒為1?若存在,請求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）滿足題意的定點(diǎn)存在,其坐標(biāo)為或

【解析】

試題分析：本題主要考查橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系等數(shù)學(xué)知識，考查分析問題解決問題的能力和計(jì)算能力.第一問，法一：利用焦點(diǎn)坐標(biāo)求出，由于點(diǎn)在橢圓上，得到方程，又因?yàn)?/span>三個(gè)參量的關(guān)系得，聯(lián)立，解出，從而得到橢圓的方程；法二：利用橢圓的定義，，利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算得出的值，從而得到橢圓的方程；第二問，直線與橢圓聯(lián)立，由于它們相切，所以方程只有一個(gè)根，所以，同理直線與橢圓聯(lián)立得到表達(dá)式，假設(shè)存在點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離，列出表達(dá)式，將代入整理，使得到的表達(dá)式，解出的值，從而得到點(diǎn)坐標(biāo).

試題解析：(1)法一：由,得, 1分

2分

∴橢圓的方程為 4分

法二：由,得, 1分

3分

∴

∴橢圓的方程為 4分

(2)把的方程代入橢圓方程得 5分

∵直線與橢圓相切,∴,化簡得

同理把的方程代入橢圓方程也得: 7分

設(shè)在軸上存在點(diǎn),點(diǎn)到直線的距離之積為1,則

,即, 9分

把代入并去絕對值整理, 或者 10分

前式顯然不恒成立;而要使得后式對任意的恒成立 則,解得;

綜上所述,滿足題意的定點(diǎn)存在,其坐標(biāo)為或 12分

考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.橢圓的定義；3.兩點(diǎn)間的距離公式；4.點(diǎn)到直線的距離公式.